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Projekt
Robuste und effiziente finite Elemente Diskretisierungen für Formulierungen mit Gradienten höherer Ordnung
Antragstellerinnen / Antragsteller
Professor Dr.-Ing. Daniel Balzani; Professorin Dr. Mira Schedensack
Fachliche Zuordnung
Mechanik
Mathematik
Mathematik
Förderung
Förderung von 2017 bis 2024
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 392564687
Für Simulationen von komplexen Problemen aus dem Maschinenbau, wie sie zum Beispiel bei komplexen Materialverhalten oder geometrischen Singularitäten auftreten, werden robuste numerische Diskretisierungsmethoden benötigt. Immer häufiger werden dafür nicht-lokale Herangehensweisen, die Ableitungen höherer Ordnung mit einbeziehen, in Betracht gezogen, um zum Beispiel Materialverhalten, das von Längenskalen abhängt, erfassen zu können oder um Gitter-abhängige Lösungen bei der Evolution von mikroskopischer Materialschädigung zu vermeiden. Dieser Modellierungsansatz führt zu neuen Herausforderungen in der algorithmischen Behandlung, da klassische Methoden nicht direkt anwendbar sind. Dies rührt von den vorkommenden höheren Ableitungen her, die aus den partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung machen, was schließlich zu komplizierten Ansatzfunktionen bei der Approximation führt. Gemischte Methoden, die standard Ansatzfunktionen zulassen, sind wünschenswert. Eine naive Vorgehensweise, die das Problem in zwei Probleme zweiter Ordnung aufspaltet, versagt insofern, als eine falsche Lösung approximiert wird. Dies ist im Kontext der Kirchhoff-Platte für die Ciarlet-Raviart-Methode als Sapondjan-Paradox bekannt. In diesem Projekt werden daher neue gemischte Formulierungen und Diskretisierungen für die Gradienten-Elastizität und die Gradienten-Schädigung konstruiert und analysiert, die diesen Effekt umgehen und so zu robusten und zuverlässigen Approximationen der Lösungen führen. Dabei wird der Gradient der Verschiebung als einzige unabhängige Variable auftreten und mit standard Lagrange-Ansatzfunktionen diskretisiert werden, sodass die neuen Diskretisierungen in bestehende Software-Pakete leicht integriert werden können und eine effiziente Approximation der Lösung ermöglicht wird. Die Schlüsselidee dabei ist, Ableitungen als Rotations-freie Funktionen zu charakterisieren. Neben der Einführung neuer Formulierungen und geeigneter Diskretisierungen stehen die Fehleranalysis, die praktische Realisierung, das Berechnen von Benchmark-Problemen und der Vergleich der neuen Methoden mit existierenden im Fokus dieses Antrags. Ein weiterer Teil ist der A-Posteriori-Analysis dieser Probleme gewidmet. Hierbei werden effiziente und zuverlässige Fehlerschätzer definiert. Singularitäten des Standard-Elastizitätsproblems treten üblicherweise auf, wenn das zugrunde liegende Gebiet nicht konvex ist. Die Lösung zur Gradienten-Elastizität wird in diesen Situationen üblicherweise Singularitäten aufweisen, bei denen die Lösung nicht im Sobolev-Raum H³ liegt. Daher werden suboptimale Konvergenzraten für Diskretisierungen dieser Probleme auftreten. Die Fehlerschätzer, die in diesem Projekt definiert werden sollen, führen schließlich auf Gitter-adaptive Algorithmen, die unverzichtbar sind, um vorhandene Rechenkapazität in dieser Situation auszunutzen.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
