Nicht-Gausssche Verteilung, Grenzen von Parametern in turbulenten Skalengesetzen - eine Analyse der Lundgren und der Hopf Gleichung der Turbulenztheorie mittels Lie Symmetrien

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Martin Oberlack
• Fachliche Zuordnung: Strömungsmechanik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 385665358

Symmetrien sind das Herzstück aller physikalischen Theorien wie klassische und Quanten Mechanik oder Relativitätstheorie, da sie die axiomatischen Eigenschaften der zugrundeliegenden Physik wiederspiegeln. Jüngst wurde vom Antragsteller entdeckt, dass statistische Symmetrien ein Maß für nicht-gaußsche Statistik und Intermittenz darstellen - Schlüsseleigenschaften der Turbulenz. Hierbei konnte Konsistenz zu allen vollständigen Theorien der Turbulenz gezeigt werden, d.h. zur Multi-Punkt Korrelations-Gleichung, zur Lundgren-Novikov-Monin (LMN) Wahrscheinlichkeits (PDF) Hierarchie sowie zur Hopf Funktionalgleichung. Der Antragsteller konnte in einer Reihe von Publikationen zeigen, dass diese Symmetrien die axiomatische Basis für alle turbulenten Skalengesetze darstellen. Basierend auf der LMN und der Hopf Gleichung soll hier auf vier Schlüsselfragen fokussiert werden: 1) Existenz der konformen Symmetrie in 2D-Turbulenz, 2) Grenzen der Skalengesetz Paramater, 3) nicht-Gausssches Verhalten der Inkrement Statistik und 4) anomale Skalierung der Strukturfunktion für beliebige Momente. Da LMN und Hopf Gleichung keine Standartform besitzen, werden zur vollständigen Berechnung ihrer Symmetrien verallgemeinerte Methoden, d.h. Lie-Baecklund Symmetrien eingesetzt. Die Teilaufgabe 1) befasst sich mit der Berechnung der konformen Gruppe für die LMN Hierarchie für 2D Turbulenz der Wirbelstärke, da ihr Existenz durch Daten belegt scheint. Erste Rechnungen des Antragstellers stützen diese wichtige physikalische These deutlich. Für die Teilaufgabe 2) soll die zugrundeliegende algebraische Struktur der Symmetrien analysiert werden, um Beschränkungen für den Gruppenparameter und freie Funktionen zu ermitteln. Diese ergäben dann Einschränkungen z.B. für kappa des log-Gesetzes, welches das Verhältnis eines statistischen und eines Skalen-Symmetrie darstellt. Eine analytische Bestimmung von kappa ist bislang nicht bekannt. Eine weitere Einschränkung für die Gruppenparameter ergibt sich aus der Positivität der PDF. Für 3)können mit den Symmetrien und deren Einschränkung für die Gruppenparameter invariante Lösungen für die PDF erzeugt werden. Spezielle Symmetriekombination werden dabei zu exponentiellem Abklingverhalten und nicht-gaußscher Statistik führen, die eng mit Intermittenz verbunden sind. Abschließend werden zu 4) invariante Lösungen für das Hopf-Funktional erzeugt, welches unmittelbar alle Momente generiert und somit auch alle Strukturfunktionen. Diese werden hinsichtlich anomaler Skalierung untersucht. Die Ergebnisse zu 3) und 4) sind nur für spezielle Kombination von Symmetrien zu erwarten. Diese Eigenschaft wird mittels Algebra-Methoden untersucht, wobei die Arbeitshypothese ist, dass diese Symmetrien eine spezifische Subalgebra bilden. Der vorliegende Antrag verfolgt das langfristige Ziel, einige der zentralsten Fragen in der Turbulenz auf eine neue Grundlage zu stellen, die jenseits von Datenfitting und semi-empirischen Modellen liegen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen