Geometrie der Quanten-Hall-Zustände für große Teilchenzahlen

• Antragsteller: Professor Dr. Semyon Klevtsov
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 376817586

Der Quanten-Hall-Effekt (QHE) ist ein bemerkenswertes Phänomen, welches eine Quantisierung der Hall-Leitfähigkeit in verunreinigten Materialien beschreibt. Ursprünglich wurde dieses Verhalten in zweidimensionalen Elektronensystemen bei tiefen Temperaturen und unter Einfluss starker Magnetfelder beobachtet. Kürzlich konnte dieses Phänomen auch in Graphen (modifiziertem Kohlenstoff) sogar bei Raumtemperatur nachgewiesen werden. Im Wesentlichen ist der Ursprung des QHE geometrischer Natur. Dieses Projekt behandelt Fragen zur geometrischen Theorie der Quanten-Hall-Zustände, wobei hauptsächlich mathematische Aspekte mit Blick auf potentiellen Anwendungen in der Physik fokussiert werden sollen.Die Ziele dieses Projekts sind: (i) Definition und Konstruktion von Quanten-Hall-Zuständen (QH-Zuständen), wie zum Beispiel dem Laughlin-Zustand und dem Pfaffschen Zustand, unter verschiedenen geometrischen Bedingungen. (ii) Vollständige Klassifikation des geometrisch-adiabatischen Transports in Modulräumen von Riemannschen Flächen für solche Zustände. (iii) Entwicklung neuer Methoden und Werkzeuge zum Studium der Asymptotik für große Teilchenzahlen von Partitionsfunktionen, Korrelationsfunktionen und der adiabatischen Krümmung solcher QH-Zustände. (iv) Aufdecken neuer Beziehungen zwischen QH-Zuständen, Liouvillescher Quantengravitation, Bergmankernen, Quillen Theorie und der Geometrie der zugrunde liegenden Objekte.Um diese Ziele zu erreichen, erarbeiten wir neue Zugänge zur Theorie der QH-Zustände. Dabei verwenden wir neuste Erkenntnisse auf dem Gebiet der Kähler-Geometrie, der asymptotischen Analysis von Bergmankernen und Techniken aus der Quantenfeldtheorie. Wir erwarten, dass durch dieses Projekt neue und aufregende Zusammenhänge zwischen QH-Zuständen und verschiedenen Aspekten moderner Geometrie und Physik offengelegt werden. Die Ergebnisse, welche aus diesem Projekt hervorgehen, werden für die mathematische Physik, Kähler-Geometrie, die Theorie der Bergmankerne und Zufallsmatrizen sowie für die QHE-Gemeinschaft von großem Interesse sein.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen