Inverse Problems, Sparse reconstructions, Convergence rates, Optimization

• Applicant: Professor Dr. Gerd Teschke
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2007 to 2011
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 33811364

• Final Report Year: 2012

Final Report Abstract

Im Rahmen dieses gemeinsamen DFG/FWF Projektes wurden vom DFG-geförderten Teilprojekt effiziente Rekonstruktionsmethoden für die Lösung inverser Probleme unter Besova Regularitätsannahmen und verschiedenen Sparsity Modellen entwickelt. Die erzielten theoretischen Resultate wurden auf verschiedene inverse Probleme im Bereich technischer und medizinisu cher Fragestellungen angewandt. Ausgangspunkt bei den durchgeführten Weiterentwicklungen war die Tikhonov-Regularisierung mit einem gewichteten lp Strafterm. Die Hauptziele des Projektes waren: Entwicklung schneller Optimierungsstrategien für Tikhonovfunktionale mit nichtlinearem Operator und Sparsity Strafterm, Entwicklung einer Regularisierungstheorie (Parameterauswahl, Konvergenz, Konvergenu zraten) für nichtlineare inverse Probleme mit gewichteten lp (Quasi-) Norm Straftermen (0 < p ≤ 2). Die theoretischen Fragestellungen waren zunächst motiviert durch drei Anwendungen: Parameterschätzung in bio-molekularen Netzwerken, SPECT und Unwuchtschätzung in Windkraftanlagen. Folgende Ergebnisse wurden erzielt: • Entwicklung von effizienten Verfahren zur Lösung von nichtlinearen inversen Problemen, bei denen die Lösung eine sparsity Nebenbedingung erfüllt (insbesondere 0 < p < 1, und strukturierter Sparsity: lp-lq-Ball), • Bereitstellung von Konvergenzergebnissen zu den entwickelten Verfahren (hier wurde zunächst die schwache Konvergenz gezeigt und dann, unter bestimmten Bedingungen, Norm-Konvergenz der gesamten Folge der Iterierten), • Entwicklung von adaptiven Verfahren für lineare inverse Probleme mit Sparsity Nebenbedingung, • Anwendung und Erweiterung der Resultate auf: Sampling-Probleme (Zielstellung: Rekonstruktion nichtlinear und nicht ideal abgetasteter analog Signale); SPECT (Zielstellung: Rekonstruktion von Dichte- und Dämpfungsfunktion); CT und X-Ray (Verfahren mit multimodalen Daten, Zielstellung: Segmentierung); network design (Zielstellung: Rekonstrukton von sparsen und robusten Netzstrukturen); Sphärische Radon Transformation (Zielstellung: Rekonstruktion der ODF in Bereich Kristallographie).

Publications

• A Compressive Landweber Iteration for Solving Ill-posed Inverse Problems, Inverse Problems, 24(6), 065013, 2008. 57.pdf
  R. Ramlau, G. Teschke and M. Zhariy
  
• Coorbit theory, multi-alpha-modulation frames and the concept of joint sparsity for medical multi-channel data analysis, EURASIP J. Adv. Signal Proc. ID 471601, 2008
  S. Dahlke, G. Teschke and K. Stingl
  
• On some iterative concepts for image restoration, Advances in Imaging and Electron Physics, 150, 1-51, 2008
  I. Daubechies, G. Teschke and L. Vese
  
• Structured Decompositions and Effcient Algorithms, Dagstuhl Seminar Proceedings 08492, 2008
  S. Dahlke, I. Daubechies, M. Elad, G. Kutyniok, and G. Teschke
  
• The Application of Wavelet Analysis for the Detection of Planetary Wave Type Oscillation in the Total Electron Content, Proc. ECMI London, 2008
  C. Borries
  
• Accelerated Projected Steepest Descent Method for Nonlinear Inverse Problems with Sparsity Constraints, Inverse Problems, 26, 025007 (23pp), 2010
  G. Teschke and C. Borries
  
• Sparse Recovery in Inverse Problems, in: Theoretical Foundations and Numerical Methods for Sparse Recovery, M. Fornasier (Ed), 2010
  R. Ramlau and G. Teschke
  
• Inversion of the noisy Radon transform on SO(3) by Gabor frames and sparse recovery principles, Applied and Computational Harmonic Analysis 31(3), 325-345, 2011
  P. Cerejeiras, M. Ferreira, U. Kähler, and G. Teschke
  
• Sparse Represenation and Efficient Sensing of Data, Dagstuhl Seminar Proceedings 11051, 2011
  S. Dahlke, M. Elad, Y. Eldar, G. Kutyniok, and G. Teschke