Stability of deterministic and stochastic nonlinear PDEs of parabolic type with degeneracies
Final Report Abstract
Im vorliegenden Projekt konnten wesentliche wissenschaftliche Fortschritte in den folgenden Themengebieten erzielt werden: A. Wohlgestelltheit und Regularität der Dünnfilmgleichung; B. Stochastische Dünnfilmgleichung; C. Stabilitüat nichtlinearer stochastischer Reaktions-Diffusions-Gleichungen. Im Projektteil A konnte die für zweidimensionale Flüssigkeitsfilme bereits entwickelte Wohlgestelltheits- und Regularitätstheorie auf den physikalischen Fall dreidimensionaler Flüssigkeitsfilme erweitert werden. Die Analysis stellte sich als besonders aufwändig heraus, da die auf ein festes Gebiet transformierte Gleichung weniger Struktur als im Fall zweidimensionaler Flüssigkeitsfilme hat. Ferner konnte ein Stabilitätsresultat für die zurücklaufende wandernde Welle der Dünnfilmgleichung mit linearer Mobilität gezeigt werden. Dieses Verhalten beschreibt Entnetzung und verletzt das Vergleichsprinzip, welches für verwandte Gleichungen zweiter Ordnung wie die Poröse-Medien-Gleichung Gültigkeit hat. In Projektteil B konnte die Existenz nichtnegativer Martingallösungen für die stochastische Dünnfilmgleichung mit Gradientenrauschen vom Stratonovich-Typ bewiesen werden. Diese Analysis vereinfacht eine vorhergehende Arbeit, in welcher das Rauschen in Ito-Form angenommen wurde, was sich allerdings nicht physikalisch begruünden lüasst. Außerdem ist der Beweis konstruktiv im Sinne, dass ein numerisch implementierbares Trotter-Verfahren zur Lösung der stochastischen Dünnfilmgleichung verwendet wird. Schließlich wurde in Projektteil C eine Multiskalenentwicklung für das System der stochastischen Fitz-Hugh-Nagumo-Gleichungen mit additivem Rauschen um den (schnellen) wandernden Puls gezeigt. Dieses Gleichungssystem spielt eine wichtige Rolle in der Beschreibung von Informationstransport in Axonen. Die Analysis verallgemeinert vorhergehende Arbeiten auf den Fall nicht selbstadjungierter Linearisierungen von Störungen um die wandernde Welle, was wesentlich für komplexere Systeme mit Anwendungsbezug ist. Ferner wird ein Verfahren zur Berechnung der korrigierten Wellengeschwindigkeit unter dem Einfluss des Rauschens vorgeschlagen. Desweiteren wurde ein erster Schritt für Abschätzungen von Konzentrationen von Trajektorien nahe langsamer Mannigfaltigkeiten in partiellen Schnell-Langsam-Differentialgleichungssystemen erzielt. Über eine Galerkin-Projektion wurde das Problem endlich-dimensional approximiert und die entsprechenden Ungleichungen zur Kontrolle der Wahrscheinlichkeiten wurden danach auf den Grenzfall übertragen. Es wurde dann bewiesen, wie man Resultate für gewöhnliche stochastische Schnell-Langsam-Systeme mit fraktionaler Brownscher Bewegung behandeln kann. Insbesondere bietet dieses Resultat einen ersten Schritt, um eine generellere Theorie für Schnell-Langsam-Systeme mit Raum-Zeit-Korrelationen zu entwickeln.
Publications
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