Adaptive Finite-Elemente-Methoden für instaionäre 3D-Strömungsprobleme
Final Report Abstract
Ziel des Forschungsvorhabens am Massachusetts Institute of Technology war die Entwicklung von effizienten numerischen Methoden für dreidimensionale Strömungsprobleme. Der technische Aufwand zur Simulation von komplexen dreidimensionalen Strömungsproblemen übersteigt oft die Leistungsfähigkeit von modernen Computern. Abhilfe kann hier eine Reduktion des Aufwands durch konsequenten Einsatz von adaptiven Diskretisierungen schaffen. Schwerpunkt meiner Arbeit war die Entwicklung eines neuen Verfahrens zur Gitteradaption bei der Finite Elemente Methode. Adaptive Verfahren versuchen die Genauigkeit der Diskretisierung lokal den Gegebenheiten anzupassen: Nur dort, wo das approximierte Strömungsfeld vom wirklichen stark abweicht wird die Genauigkeit erhöht. Die Informationen zum verbessern (verfeinern) der Diskretisierung wird mittels a posteriori Fehlerschätzern aus der approximierten Lösung gewonnen. Neu wurde ein Verfahren entwickelt um zusätzlich dominante Richtungen des Fehlers zu ermitteln. So kann die Diskretisierung nicht nur lokal angepasst werden, sondern gezielt nur in bestimmte Richtungen verfeinert werden. Dieser neue anisotrope a posteriori Fehlerschätzer berücksichtigt zur Schätzung des Fehlers Zielgrößen, die z.B. Ingenieure vorgeben können (bei Flugzeugumströmungen z.B. die Widerstands- oder Auftriebskraft). Bei komplexen dreidimensionalen Strömungsproblemen kann durch die Anwendung dieses Verfahrens der Aufwand erheblich reduziert werden, oft auf weniger als 10% des üblichen Aufwands für adaptive, aber nicht anisotrope Methoden. Weiteres Ziel des Projekts war die Untersuchung von Stabilisierungsmethoden zur Lösung von Strömungsproblemen im Bereich von hohen Mach- und Reynoldszahlen. Mit der Finite Elemente Methode approximierte diskrete Lösungen von Strömungsproblemen neigen zu unphysikalischen Oszillationen. Um diese Oszillationen zu unterdrücken fügen stabilisierte Finite Elemente Methoden zusätzliche Terme zu den Differentialgleichungen hinzu. Die von mir untersuchte relativ neue Methode der lokalen Projektionen konnte hier jedoch nicht mit etablierten Methoden konkurrieren. Daher wurde dieser Aspekt nicht weiter untersucht. Bei der Finite Elemente Approximation von zeitabhängigen Strömungsproblemen spielen die verwendeten Zeitschrittmethoden eine entscheidene Rolle. Sogenannte dG{r)-Verfahren vereinen viele Vorteile: Sie verfügen über eine hohe Approximationsgenauigkeit sowie über sehr gute Stabilitätseigenschaften. Desweiteren lassen sich die hier untersuchten Konzepte zur Fehlerschätzung,unmittelbar auf dG(r)-Verfahren übertragen. Aufgrund des hohen Aufwands scheiden dG(r)-Verfahren zur effizienten Lösung von dreidimensionalen Strömungsproblemen jedoch aus. Hier konnte ein Verfahren entwickelt werden, welches die dG(r) Lösung durch sukzessive Approximation mit einfachen und effizienten Zeitschrittverfahren berechnet. Diese Arbeit ist noch nicht abgeschlossen.
