Berechnung ganzzahliger Punkte mit einer quadratischen Version der Methode von Chabauty

• Antragsteller: Professor Dr. Jan Steffen Müller
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 325713478

Die explizite Berechnung der rationalen oder ganzzahligen Punkte einer über den rationalen Zahlen definierten algebraischen Kurve vom Geschlecht mindestens zwei hat viele wichtige Anwendungen, stellt jedoch im Allgemeinen ein äußerst schwieriges Problem dar. Die Methode von Chabauty kann zwar oft benutzt werden, um die rationalen Punkte mithilfe p-adischer Analysis zu berechnen; sie ist aber auf den Fall beschränkt, dass der Rang der Mordell-Weil Gruppe der Jacobischen kleiner als das Geschlecht ist. Unter Verwendung von p-adischer Hodgetheorie hat M. Kim einen allgemeinen Ansatz entwickelt, welcher die Methode von Chabauty verallgemeinern soll. Laut diesem Ansatz sollten die rationalen (oder wenigstens die ganzzahligen) Punkte Nullstellen von Kombinationen iterierter p-adischer Integrale sein. Allerdings scheint es sehr schwierig zu sein, die Theorie von Kim direkt für explizite Berechnungen zu verwenden.Zusammen mit J. Balakrishnan und A. Besser hat der Antragsteller in einer früheren Arbeit p-adische Höhen benutzt, um solche Integrale explizit zu beschreiben, wenn die Kurve eine durch ein Modell von ungeradem Grad gegebene hyperelliptische Kurve ist, sodass der Rang und das Geschlecht gleich sind. Im eingereichten Projekt werden wir diese Methode auf hyperelliptische Kurve von geradem Grad, superelliptische Kurven und glatte ebene Quartiken verallgemeinern, sofern der Rang genauso groß ist wie das Geschlecht. Außerdem werden wir sie mit einem neuen, aber verwandten Ansatz kombinieren, welcher diese Methode vereinfacht und dazu führen wird, dass wir oft auch dann die ganzzahligen Punkte berechnen können, wenn der Rang größer ist als das Geschlecht. Nachdem die Theorie hinreichend gut entwickelt ist, werden wir vollständige Algorithmen zur Berechnung der ganzzahligen Punkte auf solchen Kurven implementieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Niederlande