Energy Minimizing Periodic Point Sets

• Applicant: Professor Dr. Achill Schürmann
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2016 to 2020
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 324225848

• Final Report Year: 2020

Final Report Abstract

Im Projekt wurden verschiedene grundlegende Fragestellungen im Bereich energieminimierender periodischer Punktmengen bearbeitet. Insbesondere zur Klassifikation und zum besseren Verständnis formal-dualer Punktmengen bzw. Mengen in endlichen abelschen Gruppen wurden im Rahmen des Projekts umfassend neue Erkenntnisse gesammelt. So wurden nicht nur neue Werkzeuge zur Untersuchung formal dualer Mengen entwickelt, sondern es wurden auch neue Serien von Beispielen entdeckt und eine computergestützte vollständige Klassikation für kleine Gruppen erreicht. Eine aktuelle Übersicht und schöne Darstellung der erreichten Resultate ist in der „Projekt-Dissertation“ von Robert Schüler zu finden. Für die lokale Universaloptimalität periodischer Punktmengen wurden im Rahmen des Projektes neue Kriterien entwickelt, die sich nicht nur auf Gitter, sondern allgemeine periodische Punktmengen anwenden lassen. Mit Hilfe einer entsprechenden selbst entwickelten Software MinEp wurden umfangreiche Computerexperimente durchgeführt. Ein besonderes Augenmerk galt dabei der 9-dimensionalen Punktmenge D9+, für die aber weiter offen ist ob sie lokal oder gar global universal optimale Punktmenge in Dimension 9 ist. Während der Projektlaufzeit wurde ein internationales Forschungsprogramm inklusive vier thematischer Workshop am Institute for Computational and Experimental Research in Mathematics (ICERM) an der Brown University (Providence, USA) durchgeführt. Dort wurde auch ein großartiger Durchbruch zu Themen des Projektes angekuündigt: Cohn, Kumar, Miller, Radchenko und Viazovska konnten die globale Universaloptimalität des 8-dimensionalen E8- und des 24-dimensionalen Leech-Gitters nachweisen.

Publications

• Formal duality in finite abelian groups, Journal of combinatorial theory A, 162 (2019), 354–405
  Shuxing Li, Alexander Pott und Robert Schüler
  
• Formal Duality, Dissertation, Universität Rostock, 2019
  Robert Schüler
  
• Local Energy Optimality of Periodic Sets, 27 Seiten, Communications in Number Theory and Physics 15(3)
  Renaud Coulangeon und Achill Schürmann