Indextheorie für Fourier-Integraloperatoren

• Antragsteller: Professor Dr. Elmar Schrohe
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 316620701

Die Entwicklung der Indextheorie, die mit dem Beweis des Indexsatzes von Atiyah und Singer einen Höhepunkt fand, ist eine der großen Leistungen der Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts. Seither hat sich die Indextheorie als zentrales Forschungsgebiet der reinen Mathematik etabliert; ihre Anwendungen reichen in so verschiedene Gebiete wie die Topologie, die Geometrie, die Analysis, die Zahlentheorie und die theoretische Physik.Während ursprünglich nur lokale (oder pseudolokale) Operatoren betrachtet wurden, ist es inzwischen - insbesondere durch die Arbeiten von Savin und Sternin bzw. Perrot - möglich, mit Methoden der von Connes entwickelten nichtkommutativen Geometrie auch Operatoren zu behandeln, bei denen die Wirkung lokaler Operatoren mit der Wirkung einer Gruppe auf dem zu Grunde liegenden Raum kombiniert wird. In diesem Projekt sollen diese Resultate dahingehend erweitert werden, dass die Gruppe nun über quantisierte kanonische Transformationen operiert, so dass wir Indextheorie für eine Algebra von Fourier-Integraloperatoren erhalten. Die Aufgabe, den Index einer einzelnen quantisieren kanonischen Transformation zu bestimmen, wurde als Atiyah-Weinstein-Indexproblem bekannt; sie wurde von Epstein und Melrose und, in einem allgemeineren Rahmen, von Leichtnam, Nest und Tsygan gelöst. Für Diracoperatoren auf Lorentz-Raumzeiten haben Bär und Strohmaier vor Kurzem einen Indexsatz bewiesen, der für zeit-unabhängige Metriken in unserer Sprache dem Fall einer Toeplitz-Variante einer quantisierten kanonischen Transformation entspricht. Wir möchten die Indextheorie für diese Operatoralgebren für drei geometrische Situationen genauer studieren: für geschlossene Mannigfaltigkeiten, im Zusammenhang mit Sobolevproblemen und für Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten. In jedem dieser Fälle sollen Fredholmkriterien entwickelt und Indexformeln hergeleitet werden. Von besonderem Interesse ist der Fall von Sobolevproblemen (auch als 'relative elliptische Theorie' bekannt), wo die Operatoralgebren für Paare, bestehend aus einer glatten Mannigfaltigkeit und einer glatten Untermannigfaltigkeit, konstruiert werden. Über die Komposition mit Rand- und Ko-Randoperatoren induziert ein Operator auf der Mannigfaltigkeit einen 'Spuroperator' auf der Untermannigfaltigkeit. Eine der spannenden und unerwarteten Besonderheiten der Theorie ist die Tatsache, dass diese Spuroperatoren eine neuartige Struktur haben; insbesondere erhalten wir hier ganz neue Operatorklassen. Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten stellen eine weitere Herausforderung dar. Bisher gibt es ja nicht einmal eine zufrieden stellende Indextheorie for gewöhnliche Differerentialoperatorn auf solchen Räumen. Wir werden daher Fredholmkriterien für die volle Algebra beweisen, Indexformeln aber vermutlich nur für Operatoren erhalten, die gewisse Symmetriebedingungen erfüllen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Russische Föderation
• Kooperationspartner: Professor Dr. Anton Yurievich Savin; Professor Dr. Boris Sternin