Konvexe Analysis und Monotone Operatoren: Forward und Backward

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Sorin-Mihai Grad
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 315554911

Die monotonen Operatoren spielen in vielen Gebieten der Mathematik und ihren Anwendungen, z.B. in der Optimierung und der Theorie der Differentialgleichungen, eine zentrale Rolle. Diverse Zusammenhänge zwischen Konvexer Analysis und der Theorie der monotonen Operatoren sind seit etwa 50 Jahren bekannt, wurden aber intensiver erst ab 2002 betrachtet, als die sogenannte Fitzpatrick Funktion und ihre Verallgemeinerungen, bekannt als repräsentative Funktionen, wiederentdeckt worden sind. Das Hauptziel des Projektes ist die Gewinnung neuer Resultate über (Kombinationen von) monotone(n) Operatoren, z.B. der maximalen Monotonie, auf der Basis neuer Ergebnisse und Konzepte der Konvexen Analysis, z.B. allgemeinerer Regularitätsbedingungen. Das Projekt ist in fünf Ziele gegliedert. Zunächst sind Untersuchungen zu representativen Funktionen und Subdifferential-Konzepten geplant. Danach ist vorgesehen, bisherigen Ergebnisse für monotone Operatoren für reflexive Banachräume auf nichtreflexive Banachräume zu verallgemeinern. Dann sollen zusammengesetzte monotone Operatoren und Erweiterungen monotoner Operatoren mit Methoden der Konvexen Analysis betrachtet werden. Im Rahmen des vierten Ziels sollen die sogenannten Diagonal- Subdifferential-Operatoren mittels repräsentativer Funktionen untersucht werden. Da viele interessante Probleme (z.B. Minimierungsaufgaben, Komplementaritätsprobleme, Variationsungleichungen) sich als monotone Inklusionen darstellen lassen, ist auch vorgesehen, Splitting-Algorithmen zur Bestimmung der Nullstellen von Kombinationen von maximal monotonen Operatoren zu gewinnen und auf konkrete Anwendungen zu implementieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Österreich