Spannungsbasierte Methoden für Variationsungleichungen in der Festkörpermechanik: Finite-Element-Methoden und Lösung durch hierarchische Optimierung

• Antragsteller: Professor Dr. Gerhard Starke
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 314141182

Das Ziel dieses Projektes ist die Erweiterung der in der ersten Phase entwickelten Methoden auf der Basis der dualen Formulierung von hauptsächlich statischen (Quasi-)Variationsungleichungen auf zeitabhängige Probleme. Das Hinzufügen der dualen Variable als zusätzliches Feld führt wieder zu hochgenauen Approximationen für die Spannung und die zugehörigen Oberflächenkräfte im Vergleich zu herkömmlichen primalen Diskretisierungen. Die Erhaltungseigenschaften dieser Methoden sind besonders vorteilhaft für zeitabhängige Probleme.Adaptive spannungsbasierte Methoden werden entwickelt, welche auf Rekonstruktionen der Verschiebungen in der a posteriori Fehlerschätzung zurückgreifen. Kombiniert mit speziell konzipierten Mehrgitter-Methoden, führt dies zu einer insgesamt sehr effizienten Behandlung solcher (Quasi-)Variationsungleichungen. Diese Methoden werden zunächst für quasi-statische Probleme untersucht und danach auf dynamischen reibungsbehafteten Kontakt erweitert. Im quasi-statischen Fall wird zunächst ein Ansatz mit Zeitschritten verwendet. Dies hat den Vorteil, dass die Techniken aus der ersten Phase des SPP für die Ortsadaptivität verwendet werden können. Dies beinhaltet die a posteriori Fehlerschätzer ebenso wie die monotonen Multilevel-Methoden für die Spannungsräume.Das eigentliche Ziel dieser zweiten Projektphase besteht jedoch in der Entwicklung von adaptiven Raum-Zeit-Diskretisierungen für zeitabhängige (Quasi-)Variationsungleichungen. Zu diesem Zweck werden Techniken, die bereits für herkömmliche parabolische Probleme gut verstanden sind, auf zeitabhängigen reibungsbehaftete Kontaktprobleme angepasst. Eine Ausgleichsformulierung für die Umformulierung als System erster Ordnung wird als Ausgangspunkt für die a posteriori Fehlerschätzung des Raum-Zeit-Fehlers und der damit verbundenen Adaptivität verwendet. Für dynamischen reibungsbehafteten Kontakt treten anspruchsvollere Stabilitätsfragen auf, die unter Zuhilfenahme bereits erprobter Ansätze für diese Problematik angegangen werden können. Schließlich werden für die entstehenden Raum-Zeit Finite-Element-Formulierungen auch Raum-Zeit Mehrgitter-Methoden entwickelt, die zu einer hocheffizienten Gesamt-Lösungsstrategie führen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1962: Nichtglatte Systeme und Komplementaritätsprobleme mit verteilten Parametern: Simulation und mehrstufige Optimierung
• Internationaler Bezug: Schweiz
• Kooperationspartner: Professor Dr. Rolf Krause