Untersuchung eines nichtglatten Newtonverfahrens für steuer- und zustandsbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme

• Antragsteller: Professor Dr. Matthias Gerdts
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2006 bis 2011
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 30819490

• Erstellungsjahr: 2011

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Im Zentrum des Projekts stand die Untersuchung eines nichtgtatten Newtonverfahrens zur effizienten numerischen Lösung von Steuer- und zustandsbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen und/oder differential-algebraischen Gleichungen. Derartige Optimalsteuerungsprobleme sind von großer praktischer Bedeutung, da durch sie zahlreiche technische und ökonomische Vorgänge beschrieben werden. Typische Beispiele sind die Bahnplanung für Roboter, die Simulation von Testfahrten und die optimale Steuerung verfahrenstechnischer Prozesse. Nichtglatte Newtonverfahren basieren in diesem Zusammenhang auf der iterativen, numerischen Erfüllung der notwendigen Optimalitätsbedingungen und stellen eine effiziente, strukturangepasste Verfahrensklasse dar. Sie besitzen gegenüber klassischen indirekten Methoden den Vorteil, dass sie keine Annahmen über die Schaltstruktur des zu Grunde liegenden Problems benötigen, d.h. der Anwender muss die Abfolge von aktiven und inaktiven Teilstücken der Steuer- und Zustandsbeschränkungen nicht kennen. Im Rahmen des Projekts wurden Konvergenzuntersuchungen und Regularisierungsstrategien für die betrachteten Optimalsteuerungsprobleme und deren Diskretisierungen durchgeführt. Für die diskretisierten Probleme konnte die lokal quadratische Konvergenz nachgewiesen werden. Für die kontinuierlichen Probleme konnte lediglich eine globale Konvergenz unter Zuhilfenahme einer Liniensuchstrategie nachgewiesen werden, während lokal superlineare Konvergenz und Gitterunabhängigkeit nur numerisch beobachtet werden konnten. Der Nachweis der lokal superlinearen Konvergenz gelingt unter der Annahme, dass ein sogenannter Glättungsoperator konstruiert werden kann, wobei dessen tatsächliche Konstruktion ein noch offenes Problem darstellt. Besonders effizient sind die Verfahren für schwach nichtlineare Probleme. Für stark nichtlineare Probleme sind sie etablierten direkten Diskretisierungsverfahren hinsichtlich Robustheit gegenüber schlechten Startschätzungen häufig unterlegen. Anwendung fanden die nichtglatten Newtonverfahren u.a. im Reglerentwurf. Mit Hilfe des virtuellen Steuerungskonzepts und des modellprädiktiven Regelungskonzepts konnten Rückkoppelungssteuerungen für linearisierte Kontrollprobleme realisiert werden, die es erlauben, reine Zustandsbeschränkungen zumindest in erster Näherung einzuhalten. Darüber hinaus konnten Problemstellungen aus der Robotersteuerung und der Strömungssimulation (Navier-Stokes-Gleichungen) erfolgreich gelöst werden.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• A Nonsmooth Newton's Method for a discretized PDAE optimal control problem, IMA Conference on Numerical Linear Algebra and Optimisation, Birmingham, September 2007.
  Matthias Gerdts, Martin Kunkel
  
• Memory-efficient implementation of stable nonsmooth Newton's method: application to control-state constrained optimal control problems. 23rd IFIP TC 7 Conference on System Modelliiig and Optimization, Krakau, Polen, Juli 2007, pp. 329-330.
  Julia Sternberg, Matthias Gerdts
  
• A nonsmooth Newton's method for control-state constrained optimal control problems. Mathematics and Computers in Simulation, Vol. 79. 2008, Issue 4, pp. 925-936.
  Matthias Gerdts
  
• A Nonsmooth Newton's Method for Discretized Optimal Control Problems with State and Control Constraints. Journal of Industrial and Management Optimization, Vol. 4. 2008, Issue 2, pp. 247-270.
  Matthias Gerdts, Martin Kunkel
  
• Global Convergence of a Nonsmooth Newton's Method for Control-State Constrained Optimal Control Problems^ SIAM Journal on Optimization, Vol. 19. 2008, Issue 1, pp. 326-350.
  Matthias Gerdts
  
• Regularization of state constrained optimal control problems with applications in controller design. 14th Belgian-French-German Conference on Optimization, Minisymposium: Optimal Control Applications, Leuven, Belgien, September 2009, pp. 208.
  Matthias Gerdts, Björn Hüpping
  
• A Linear-Quadratic Model-Predictive Controller for Control and State Constrained Nonlinear Control Problems. Recent Advances in Optimization and its Applications in Engineering, 2010, pp 319-328.
  Matthias Gerdts, Björn Hupping
  
• Stable Memory-Efficient Nonsmooth Newton's Method for Control-State Constrained Optimal Control Problems, Technischer Report, Universität Hamburg, 2010.
  Matthias Gerdts, Julia Sternberg
  
• A globally convergent semi-smooth Newton method for control-state constrained DAE optimal control problems. Computational Optimization and Applications, Vol. 48. 2011, Issue 3, pp. 601-633.
  Matthias Gerdts, Martin Kunkel
  
• Numerical solution for control-state constrained optimal control problems with inexact nonsmooth and smoothing Newton methods, IMA Journal of Numerical Analysis, Vol. 31. 2011, Issue 4, pp. 1598-1624.
  Jinhai Chen, Matthias Gerdts
  
• Virtual control regularization of state constrained linear quadratic optimal control problems. Computational Optimization and Applications, Vol. 51. 2012, Issue 2, pp. 867-882.
  Matthias Gerdts, Björn Hupping