Neue Modelle und Steuerung vernetzter Probleme für ereignisbasierte und kontinuierliche Dynamiken

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Simone Göttlich; Professor Dr. Michael Herty
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 298682575

Der vorliegende Antrag beabsichtigt das Verständnis für hyperbolische Systeme auf Netzwerken durch die Entwicklung neuartiger mathematischer Methoden zu vertiefen. Im Zentrum der Untersuchungen stehen Kopplungsbedingungen nichtlinearer hyperbolischer Gleichungen. Ziel ist die Entwicklung einer neuen Technik zur Herleitung geeigneter Bedingungen, die aktuell bestehende Inkonsistenzen auflöst, die Ableitung geeigneter Steuerungsmechanismen erlaubt und eine für den allgemeinen Fall gültige mathematische Methode in der Analysis und Numerik darstellt. Auf lange Sicht gesehen helfen diese Ergebnisse, die Lücke zwischen der etablierten Theorie hyperbolischer Gleichungen in einer räumlichen Dimension und mehrdimensionalen Gleichungen zu schließen. Mögliche Anwendungen basieren auf physikalischen oder technischen Prozesse wie z.B. Produktion, Verkehr oder Strömungsdynamik. Die bisher nicht ausgeschöpfte, aber gut verstandene und diesen Prozessen zugrundeliegende mikroskopische Beschreibung dient hierbei als Ausgangspunkt. Diese Betrachtungsweise ist aufgrund ihrer Rechenkomplexität nicht geeignet, realistische Szenarien effizient zu simulieren. Wir möchten daher die detaillierte Beschreibung der Probleme lediglich lokal nutzen, um neue und physikalisch korrekte Bedingungen und Kontrollen herzuleiten. Dieses Vorgehen ist konträr zu den bisher bekannten a priori postulierten Bedingungen und beinhaltet weiteres physikalisches Verständnis. Diese neuen Informationen werden dann in der Diskussion geeigneter Kopplungsbedingungen ausgenutzt. Des Weiteren erlaubt der Zugang auch einen Beitrag zum neuen Forschungsgebiet der Steuerung nichtlinearer hyperbolischer Systeme. Hierbei betrachten wir zwei Szenarien, die durch geeignete differentialgleichungsbasierte Regelungsstrategien adressiert werden. Im Fall der Frage der Stabilisierung von Strömungsprofilen werden durch die Entwicklung einer neuen Lyapunovfunktion geeignete, beweisbar konvergente Regelungsvorschriften theoretisch als auch numerisch abgeleitet. Vor allem für mathematische Modelle in der Produktion oder im Verkehr müssen individuelle, oftmals konkurrierende, Entscheidungen in der Entwicklung geeigneter Kontrollansätze berücksichtigt werden. Hierbei sind Fragen der Steuerung zur optimalen Auslastung von Interesse, die mittels spieltheoretischer Überlegungen für Dynamiken, die von nichtlinearen Differentialgleichungen beschrieben sind, untersucht werden. Die daraus resultierenden Algorithmen werden untersucht und mit bereits existierenden Konzepten verglichen. Ein spürbarer Fortschritt des Antrages ist im Bereich der mathematischen Modellierung, Analysis und numerischen Analyse zu erwarten. Der inhaltliche Schwerpunkt liegt zunächst auf Produktionsmodellen, die ein neues Anwendungsgebiet mit mikros- als auch makroskopischen Beschreibungsweisen darstellen. Die neu entwickelten Techniken werden auf Verkehrsmodelle und Energietransportsysteme übertragen, um die Allgemeinheit des Zugangs zu zeigen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen