Die anabelsche Geometrie der Schnittvermutung

• Antragsteller: Professor Dr. Jakob Stix
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2006 bis 2008
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 29261904

Anabelsche Geometrie untersucht den arithmetischen und geometrischen Gehalt der étalen Fundamentalgruppe. Diese wichtige algebraische Invariante einer Varietät, etwa der Lösungsmenge eines polynomialen Gleichungssystems, besteht aus einer Gruppe kombinatorischtopologischen Ursprungs, auf der eine arithmetische Galoisgruppe wirkt. Man vermutet, dass für geeignete Grundkörper diese arithmetische Wirkung so reichhaltig ist, dass sie die Rekonstruktion der Varietät erlaubt, sofern es sich um hochgradig nichtabelsche Fundamentalgruppen handelt — daher der Begriff anabelsch, für den eine genaue Charakterisierung noch aussteht. Gelungen ist bisher u.a. die Rekonstruktion von nicht konstanten Abbildungen in hyperbolische Kurven aus der étalen Fundamentalgruppe [Mochizuki]. Ein rationaler Punkt der Varietät liefert einen Schnitt der Fundamentalgruppensequenz. Die Schnittvermutung Grothendiecks besagt, dass im Fall hyperbolischer Kurven jeder Schnitt eindeutig auf diese Weise von einem Punkt kommt (möglicherweise von einem Punkt im Unendlichen).Bewahrheitet sich die Schnittvermutung, bedeutet dies eine rein gruppentheoretische Beschreibung rationaler Punkte, die der Diophantischen Geometrie neue Perspektiven ermöglicht. Ziel des Projekts ist es, möglichst viel der arithmetisch–geometrischen Information zu beschreiben, die in einem Schnitt enthalten ist, und so Wege zu einem Beweis der Schnittvermutung aufzuzeigen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Florian Pop