Effective Theories and Energy Minimizing Configurations for Heterogeneous Layers

• Applicant: Professor Dr. Bernd Schmidt
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2015 to 2019
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 285722765

• Final Report Year: 2019

Final Report Abstract

In diesem Projekt wurden dünne Mehrschichtsysteme mit typischerweise unterschiedlichen Materialeigenschaften und internen Verspannungen einer umfänglichen Analyse unterzogen, sowohl im Hinblick auf die Bereitstellung effektiver Plattentheorien als auch deren Analyse mit dem Ziel, energetisch optimale Konfigurationen zu identifizieren. Die wesentlichen Ergebnisse gliedern sich in drei Punkte auf. A) Effektive Theorien für verspannte Mehrschichtsysteme in Kontinuumsmodellen. Es wurde eine variationelle Dimensionsreduktionsanalyse in Kontinuumsmodellen für verspannte heterogene Schichten in Energieskalierungen vorgenommen, die zu infinitesimalen Verschiebungen führen. Anlehnend an Resultate von Friesecke, James und Müller konnten als Γ-Limes aus der nichtlinearen dreidimensionalen Elastizitätstheorie gewonnen werden: die linearisierte Kirchhoff-Theorie für stark verspannte Systeme, die linearisierte von Karman-Theorie für schwach verspannte Schichten sowie die von Karman-Theorie für ‘moderate’ Verspannungen. Interessant erscheint hier die Einführung einer feinen Skala, mit deren Hilfe die Regime starker und schwacher Verspannung interpoliert werden. B) Herleitung der von Karman-Theorie aus atomistischen Modellen. Mit Blick auf die besondere Rolle der von Karmanschen Theorie wurde deren Herleitung auch aus atomistischen Modellen durch einen diskret-kontinuierlichen Γ-Konvergenzprozess untersucht. Tatsächlich ergab sich für ‘dicke’ Platten, die aus vielen Atomlagen bestehen, die klassische von Karman-Theorie. Für dünne Platten jedoch enthielt das Limesfunktional auch Korrekturterme, die als Beitrage der Oberflächenenergie sowie als atomistische Korrekturen der Cauchy-Born-Regel identifiziert werden konnten. C) Geometrie Energie minimierender Konfigurationen. Als Energieminimierer fanden sich (skalierte) Zylinder in stark verspannten Schichten (für die linearisierte Kirchhoffsche Theorie) und (infinitesimale) Kugelkappen in schwach verspannten Schichten (für die linearisierte von Karmansche Theorie). Die Energie minimierenden Konfigurationen für die von Karmansche Theorie sind nicht mehr elementar explizit bestimmbar. Im Übergang von schwachen zu moderaten Verspannungen wurde die Existenz eines eindeutigen glatten Zweigs von Lösungen, die von einer sphärischen Kappe ausgehen, nachgewiesen. Im Übergang von moderaten zu starken Verspannungen ist zumindest die Konvergenz zu zylindrischen Verformungen sichergestellt. Computersimulationen und eine numerische Analyse legen die Existenz eines stark lokalisierten Parameterbereichs der Symmetriebrechung nahe.

Publications

• A hierarchy of multilayered plate models
  Miguel de Benito Delgado und Bernd Schmidt
  
• An atomistic derivation of von-Karman plate theory
  Julian Braun und Bernd Schmidt
  
• Effective two dimensional theories for multi-layered plates, Dissertation Universität Augsburg, 2019
  Miguel de Benito Delgado
  
• Energy minimizing configurations of pre-strained multilayers
  Miguel de Benito Delgado und Bernd Schmidt