Arithmetic of K3 Surfaces
Final Report Abstract
K3-Flächen sind algebraische Flächen (also zweidimensionale geometrische Objekte, die durch das Verschwinden von gewissen Polynomen definiert sind). Sie stehen zwischen del-Pezzo-Flächen, die eine relativ einfache Geometrie haben, und den beliebig komplizierten Flächen "allgemeinen Typs“. Ein Schwerpunkt in diesem Projekt war das Studium der rationalen Punkte einer K3-Fläche (Punkte auf der Fläche, deren Koordinaten rationale Zahlen sind). Sowohl für del-Pezzo-Flächen als auch für Flächen allgemeinen Typs gibt es begründete Vermutungen zur Struktur der Menge der rationalen Punkte. Bei K3-Flächen liegt diesbezüglich noch vieles im Nebel. Ein Teilaspekt war die Entwicklung von Algorithmen, die alle rationalen Punkte bis zu einer gewissen "Höhe“ (Schranke für die Zähler und Nenner der Koordinaten) möglichst schnell finden können. Das funktioniert in einigen Fällen recht gut, in anderen leider nicht so gut. Ein negative Überraschung gegen Ende des Projekts war, dass der Algorithmus für eine bestimmte Klasse von K3-Flächen nicht (wie eigentlich erwartet) effizient genug war, um so viele Punkte zu finden wie es für einen Test einer Vermutung ("Manin-Vermutung für K3-Flächen“) erforderlich gewesen wäre. Das Problem ist, dass die meisten dieser Flächen zu wenig "kleine“ Punkte besitzen. Es wird erwartet, dass die Verteilung der rationalen Punkte zu einem wesentlichen Teil von einer geometrischen Invariante der Fläche bestimmt wird. Dies ist der "Picard-Rang“, definiert als der Rang der Picard-Gruppe, die gewisse Aspekte der Geometrie der Fläche in einem algebraischen Objekt codiert. Es ist also wichtig, diesen Picard-Rang für eine gegebene K3-Fläche bestimmen zu können. Dafür gibt es eine Methode, bei der man Informationen sammelt, indem man die Fläche "modulo p“ betrachtet. Dabei ist p eine geeignete Primzahl. Kombiniert man diese Informationen für verschiedene Primzahlen, kann man häufig den Rang bestimmen. Im Projekt wurde diese Methode genauer untersucht und auch verbessert. Zum Beispiel wurden Ansätze entwickelt, die es in vielen Fällen ermöglichen, die relevante Information modulo p deutlich schneller zu berechnen (dieser Schritt kann sehr lange dauern, wenn p nicht sehr klein ist). Dass dies so erfolgreich möglich ist, war eine positive Überraschung im Verlauf des Projekts. Es wurde auch experimentell untersucht, ob die Methode immer anwendbar ist. Die hierbei erhaltenen Ergebnisse sind ermutigend, auch wenn bis jetzt noch nicht streng bewiesen werden konnte, dass der Picard-Rang im formalen Sinn berechenbar ist. Die Kenntnis der Picard-Gruppe ist auch wichtig, weil sich daraus ein Kriterium ergibt ("Brauer-Manin-Obstruktion“), das in manchen Fällen die Existenz rationaler Punkte ausschließt. Dieses Kriterium wurde insbesondere im Hinblick auf eine speziellen Klasse von K3-Flächen untersucht, so genannten Kummer-Flächen, die eine wichtige Rolle in der Geometrie von gewissen Kurven (vom Geschlecht 2) spielen. Dies hat wiederum Anwendungen auf das Studium der rationalen Punkte auf solchen Kurven. Insgesamt wurden in der Zeit der Förderung durch die DFG in vielen Teilprojekten substantielle Fortschritte erzielt, die unser Verständnis der Arithmetik von K3-Flächen vertieft haben.
Publications
- Cubic surfaces with a Galois invariant pair of Steiner trihedra, International Journal of Number Theory
A.-S. Elsenhans und J. Jahnel
- On the computation of the Picard group for K3 surfaces (2009)
A.-S. Elsenhans und J. Jahnel
- On Weil polynomials of K3 surfaces, in: G. Hanrot, F. Morain, E. Thomé (Eds.): Algorithmic Number Theory, ANTS-IX 2010, Springer LNCS 6197, pp. 126–141 (2010)
A.-S. Elsenhans und J. Jahnel
- Rational points on diagonal quartic surfaces (2010)
A.-S. Elsenhans
- The Picard group of a K3 surface and its reduction modulo p (2010)
A.-S. Elsenhans und J. Jahnel
- Two-coverings of Jacobians of curves of genus 2 (2010)
E.V. Flynn, D. Testa und R. van Luijk
