Image modelling, inpainting, decomposition and restoration by redundant representations and variational calculus
Final Report Abstract
Die Zielstellung des Projektes war die Analyse des Einsatzes von Frames (redundante nicht-orthogonale Darstellungen in Funktionenräumen) für numerische Verfahren im Bereich der Lösung von nichtlinearen inversen Probleme. Insbesondere sollte auf konkrete Fragestellungen in den Bereichen Bild-Inpainting sowie Bilddatenrekonstruktion und -zerlegung fokussiert werden. Folgende Ergebnisse wurden erzielt: • Entwicklung von Verfahren zur Lösung von nichtlinearen inversen Problemen bei denen die Lösung eine sparsity Nebenbedingung erfüllt (strukturierte Sparsity Maße) • Darstellung der Lösung mittels Frames und darauf basierende Variationsmodellierung • Bereitstellung von Konvergenzergebnissen und Regularisierungsresultaten • Zwei motivierenden Fragestellungen aus der Anwendung konnten erfolgreich gelöst werden: a) Bei der sparsen Approximation von SVM konnten Approximation der Support-Vektoren und Approximation der SVM zusammengeführt werden; b) Beim Inpainting Problem (italienische Freskenrekonstruktion) konnten mittels Einsatz von joint (bzw. coupled) sparsity Maßen sehr gute Farbrekonstruktionen erzielt werden. Es wurden analytische und numerische Vergleiche mit TV-basierten Verfahren durchgeführt. Verschiedene Möglichkeiten der Wahl von nicht-konvexen Nebenbedingungen wurden analysiert, aber es konnten keine globalen Optimalitätsaussagen hergeleitet werden. Zu a) Die Situation zum Zeitpunkt der Antragstellung: Die SVM wurde in einem Zwei-Schrittverfahren optimiert. Zunächst wurde iterativ uber Residuen-Approximationsschritte eine Reduzierte-Vektor-Maschine (RVM) berechnet. Im zweiten Schritt dann erst fand eine sparse Approximation der individuellen RVM-Elemente mittels Wavelet-Frames statt. Dies gestattete die Konstruktion eines doppelt kaskadierten Klassifikators. Dies war nur so machbar, da zu diesem Zeipunkt kein Verfahren zur sparsen Approximation für nichtlineare Probleme existierte. Im Rahmen des Projektes wurden nun Verfahren entwickelt, die die beiden Schritte (Berechnung der RVM und sparse Approximation der RVM Elemente) zusammenfassen. Zu b) Die Teilaufgabe im Rahmen der Kooperation mit dem Mantegna Projekt war es, ein Verfahren zu entwickeln, welches eine Extrapolation der Farbkanäle von den Grauwertbildern in diejenigen Bereiche realisiert, in denen keine Farbinformation vorhanden ist. Oder allgemeiner formuliert, wir möchten die Beiträge einzelner Quellen aus einer gekoppelten Information (Grauwertbild) separieren bzw. rekonstruieren. Die vorgeschlagene Neuheit - im Gegensatz zu bereits genutzten Verfahren - besteht darin, die Variationsformulierung mittels Frames auszudrücken und dabei entsprechende Sparsity-Maße zu entwickeln, die Kopplungen realisieren und zu den gewünschten Verfahren führen.
Publications
- An Iterative Algorithm for Nonlinear Inverse Problems with Joint Sparsity Constraints in Vector Valued Regimes and an Application to Color Image Inpainting. Inverse Problems, 23, 1851-1870, 2007
G. Teschke and R. Ramlau
- On some iterative concepts for image restoration. Advances in Imaging and Electron Physics, 150, 1-51, 2008
I. Daubechies, G. Teschke and L. Vese
- Coarse-to-fine Particle Filters for Multi-Object Human Computer Interaction. IEEE Intelligent Data Acquisition and Advanced Computing Systems: IDAACS’09, pp 440-445, 2009
M. Rätsch, C. Blumer, G. Teschke, and T. Vetter
- The application of joint sparsity and total variation minimization algorithms in a real-life art restoration problem. Advances in Computational Mathematics, 31(1-3), 157-184, 2009
M. Fornasier, R. Ramlau and G. Teschke
- Accelerated Projected Steepest Descent Method for Nonlinear Inverse Problems with Sparsity Constraints. Inverse Problems, 26, 025007 (23pp), 2010
G. Teschke and C. Borries
- Effcient object tracking by condentional and cascaded image sensing. Computer Standards and Interfaces, 2011, ISSN 0920-5489
M. Rätsch, C. Blumer, T. Vetter, and G. Teschke
(See online at https://doi.org/10.1016/j.csi.2011.02.001)
