Raue stochastischer Volatilität und verwandten Themen

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Christian Bayer; Professor Dr. Peter Karl Friz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 275035933

Das Ziel des vorliegenden Forschungsvorhabens ist die Entwicklung einer neuen Generation von stochastischen Finanzmarktmodellen, wobei wir von Anfang unter einem gemeinsamen analytischen und numerischen Blickwinkel arbeiten wollen, und hochgradige Konsistenz mit beobachteten Marktpreise, sowohl unter dem historischen als auch unter dem risikoneutralen Mass anstreben. Konkreter gefasst ist das Ziel dieses Forschungsvorhabens die Entwicklung eines gemeinsamen Modelles für den Wert des S&P 500 Index (SPX) und des darauf basierenden Volatilitaetsindex VIX, welches hervorragende Übereinstimmung mit sowohl historischen Zeitreihen dieser Indizes als auch mit Marktdaten von Option of SPX und VIX liefert, dabei aber mit sehr wenigen Modellparametern auskommt. Überraschenderweise ist dieses Ziel tatsächlich erreichbar, erfordert aber, über die klassische Domäne von Finanzmarktmodellen, also Modelle basierend auf Diffusionsprozessen, Levyprozessen, oder Kombinationen von beidem, hinauszugehen, hin zu Modellen mit deutlich raueren Komponenten, inbesondere soweit die Volatilität betroffen ist. Das heisst, wir schlagen eine stochastisches Modell vor, in dem die Volatilität von fraktionellem Typ ist. Die genaueren Ziele des Projektes können wie folgt beschrieben werden. (i) Wir werden zunächst die fundamentalen Eigenschaften des vorgeschlagenen Modelles sowohl aus einer theoretischen wie auch aus einer praktischen Perspektive untersuchen. Anzumerken is hierbei, dass realitische Preise von Optionen auf VIX nur unter Verwendung eines nicht-trivialen market-price-of-risk möglich ist. Dabei stellen sich durch die geringe Regularität des Volatilitätsprozesses sowie die fehlende Markoweigenschaft sowohl mathematische als auch numerische Schwierigkeiten, welche zunächst gelöst werden müssen. (ii) Für einfache Kalibrierungsroutinen werden in einem zweiten Schritt einfache asymptotische Formeln für Optionspreise basierend auf die Theorie der großen bzw. der moderaten Abweichungen kombiniert mit Laplaceapproximationen hergeleitet. (iii) Anschließend werden wir genaue und effiziente numerische Verfahren für die Berechnung von Preisen von Derivaten in dem Modell entwickeln, wie sie insbesondere fuer die Preisberechnung exotischer Optionen notwendig sind. Darauf aufbauend ergibt sich dann auch die Möglichkeit einer weiteren Einordnung des vorgeschlagenen Modells, insofern als dass Preise exotischer Optionen mit modellunabhängigen Schranken gegeben die Preise gewöhnlicher Optionen verglichen werden können. (iv) Für eine feinere Kalibrierung des Modelles schlagen wir die Verwendung einer neuen Technik basirend auf nicht-lineare PDGs bzw. interaktiver Partikelsysteme vor. In diesem Zusammenhang werden wir zunächst rigorose mathematische Grundlagen auch im Diffusionsfall erarbeiten, bevor wir Theorie und Numerik auf den fraktionellen Fall verallgemeinern wollen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen