Komplexität und Definierbarkeit im Überabzählbaren - Ein Beitrag zur verallgemeinerten deskriptiven Mengenlehre

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Philipp Lücke
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 274718383

Die deskriptive Mengenlehre ist das Studium definierbarer oder topologisch einfacher Mengen reeller Zahlen und ihrer strukturellen Eigenschaften. Sie hat ihren Ursprung in den Arbeiten der französischen Analytiker Borel, Baire und Lebesgue und wurde ab 1910 durch fundamentale Arbeiten von Alexandrow, Hausdorff, Souslin und anderen zu einer eigenständigen Disziplin, die ein zentrales Gebiet der Mengenlehre darstellt. Die deskriptive Mengenlehre zeigt, dass einfach definierbare Mengen reeller Zahlen viele Regularitätseigenschaften, wie die Lebesgue-Messbarkeit und die Eigenschaft von Baire, besitzen. Viele Objekte von mengentheoretischem Interesse, wie etwa Wohlordnungen der reellen Zahlen und Ultrafilter auf den natürlichen Zahlen, besitzen solche Eigenschaften nicht und können somit nicht auf einfache Weise definiert werden. Zudem zeigen die bahnbrechenden Resultate von Martin, Steel und Woodin, dass alle definierbaren Mengen reeller Zahlen in Gegenwart großer Kardinalzahlen alle diese Regularitätseigenschaften besitzen. Deshalb sind Wohlordnungen und Ultrafilter in diesem Fall auf keine Weise definierbar. Es ist naheliegend zu fragen, ob diese Resultate auf höhere Kardinalitäten verallgemeinert werden können. Dieses Forschungsgebiet wurde von Mekler und Väänänen begründet und von S. Friedman, Hyttinen, Shelah und anderen fortgeführt. Während sich Teile der klassischen Theorie übertragen lassen, führt die reichhaltige Kombinatorik überabzählbarer Kardinalitäten zu weitreichenden Unterschieden. Insbesondere ist es bei höheren Kardinalzahlen möglich, dass Wohlordnungen und Ultrafilter auf sehr einfache Art definiert werden können, auch in Gegenwart großer Kardinalzahlen. Das beantragte Projekt untersucht Definierbarkeitsphänomene bei höheren Kardinalzahlen. Einerseits wollen wir Komplexitätshierarchien verfeinern, um Klassen mit beweisbaren Regularitätseigenschaften zu erhalten. Andererseits wollen wir Erweiterungen der Axiome der Mengenlehre betrachten und die Strukturtheorie von Klassen einfach definierbarer Mengen unter diesen zusätzlichen Annahmen untersuchen. Diese Analyse verbindet Methoden aus verschiedenen Teilgebieten der Mengenlehre, wie überabzählbare Kombinatorik, Forcing, große Kardinalzahlen, innere Modelle und klassische deskriptive Mengenlehre. Die Antragsteller haben umfangreich an zu diesem Projekt in Bezug stehenden Themen gearbeitet und publiziert. Wir möchten einen Postdoktoranden (Peter Holy) anwerben, dessen bisherige Forschungsarbeit eng mit dem Projekt verbunden ist. Dies wird uns ermöglichen, wichtige neue Aspekte und Methoden in dieses Projekt einzubinden. Zudem arbeitet seit Herbst 2014 eine Doktorandin (Ana Njegomir) der Bonner Logikgruppe an für dieses Projekt relevanten Themen. Im Jahr 2016 planen wir einen internationalen Workshop zur verallgemeinerten deskriptiven Mengenlehre in Bonn.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortliche: Professor Dr. Peter Koepke; Dr. Philipp Schlicht