Numerical methods for time-dependent Schrödinger equations
Final Report Abstract
Nach einem vorangegangen Projekt über numerische Methoden zur Lösung stationärer Schrödinger-Gleichungen, war der nächste Schritt auf dem Weg zur Berechnung von numerischen Lösungen realer Anwendungsfälle der Quantenphysik die Erweiterung der Verfahren auf zeitabhängige Probleme. Hier ist man sofort mit einer enorm hohen Steigerung der Komplexität konfrontiert. Erste Versuche, die zeitliche Entwicklung mit Hilfe bekannter Runge-Kutta-Verfahren zu berechnen, zeigten sehr schnell, dass dies zwar möglich war, aber für den Rahmen dieses Projektes und die zur Verfügung stehenden Rechnerkapazitäten keine realistische Option darstellte. Nach einiger weiterer Literaturrecherche und durch die bereits vorhandene Erfahrung auf dem Gebiet numerischer Simulationen war die Entwicklung einer Galerkin-Methode und Adaption basierend auf fehlerschätzern für Funktionale der nächste Schritt. Zwar zeigten sich verschiedene Schwierigkeiten sowohl bei der Berechnung als auch der Implementierung der Fehlerindikatoren, aber letztendlich führte dieser Weg auf ein Verfahren, welches es ermöglicht, Lösungen sehr genau mit vertretbarem Rechenaufwand zu berechnen. Startet man mit einer groben Diskretisierung eines Zeitintervals und einer Raumdiskretisierung, so findet das Verfahren genau die Zeitschritte und Elemente, die verfeinert werden müssen, um eine bessere Lösung zu erhalten. Mit diesem Simulationspaket können jetzt weitere interessante Szenarien angegangen und berechnet werden. Die Entwicklung von Wirbeln oder anderer singulärer Ereignisse ist nun auch ohne astronomisch-große Rechnungen möglich. Das Adaptionsverfahren selektiert automatisch die Elemente der Diskretisierungen, in denen Aktiviät stattfindet und verfeinert diese. Ein Nebeneffekt waren verschiedene Beiträge zur deal.II-Bibliothek. Gerade im Bereich Parallelisierung konnten einige Verbesserungen eingereicht werden und stehen teilweise schon zur Verfügung. Erfreulicherweise wird Herr Prof. Dr. Ávila im kommenden Jahr einen ca. einmonatigen Forschungsaufenthalt an der Universität Kassel verbringen, so dass weitere gemeinsame Arbeiten auf diesem Forschungsgebiet im direkten Kontakt durchgeführt werden können.
Publications
- An adaptive Galerkin method for the time-dependent complex Schrödinger equation, Elsevier Journal Applied Numerical Mathematics, Volume 121, November 2017, Pages 149-169
A.I. Ávila, A. Meister, M. Steigemann
(See online at https://doi.org/10.1016/j.apnum.2017.06.013)
