Line bundles on noncommutative algebraic and arithmetic surfaces
Final Report Abstract
Geradenbündel auf nichtkommutativen algebraischen und arithmetischen Flächen werden studiert. Hierbei ist eine nichtkommutative algebraische beziehungsweise arithmetische Fläche ein Paar (X, A), wobei X ein zweidimensionales Schema über C oder der Ring ganzer Größen OK in einem Zahlkörper K ist und A eine Garbe von Algebren, die generisch ein zentraler Schiefkörper über dem Funktionenkorper von X ist. Ein Geradenbündel E auf solch einer nichtkommutative Fläche ist eine Garbe auf X, auf der A operiert, so dass E generisch ein Modul vom Rang eins über dem von A induzierten Schiefkörper ist. Ist das Basisschema der Körper C, so besitzen diese Geradenbündel einen Modulraum. Es wurde bewiesen, dass dieser Modulraum eine irreduzible symplektische Varietät ist, wenn X eine K3-Fläche und A eine Azumaya-Algebra ist. Weiter wurde bewiesen, dass diese irreduzible symplektische Varietät deformationsäquivalent zu einem Hilbert-Schemata von Punkten auf der Fläche X ist. Er liefert also keine neue Deformationsklasse. Über dem Basisschema C wurde auch die Deformationstheorie der Geradenbündel, für den Fall das die Algebra eine sogenannte del Pezzo-Ordnung ist, untersucht. Ist solch ein Bündel E ’nur’ torsionsfrei, so wurde gezeigt, dass es eine Deformation F von E gibt, die lokal projektiv ist, also ein echtes Geradenbündel auf der nichtkommutative Fläche darstellt. Hierzu wurde eine Familie von A-Geradenbündeln über einer zusammenhängenden Kurve C konstruiert, so dass E und F Mitglieder dieser Familie sind. Diese Familie liefert eine zusammenhängende Kurve im Modulraum MA/p2, die die Isomorphieklassen von E und F im Modulraum verbindet. Dieses Resultat zeigt, dass die lokal projektiven A-Geradenbündel eine dichte Teilmenge des Modulraumes bilden. Ist das Basisschema der Ring ganzer Großen OK für einen Zahlkorper K, so wurden Azumaya-Algebren und Moduln darüber in der Arakelov Geometrie betrachtet. Man gibt hierbei dem Spektrum von OK auch noch die reellen Bewertungen hinzu. Über jeder reellen Bewertung denke man sich in X die induzierte Riemannsche Fläche angeheftet. Garben auf X induzieren Vektorbuündel auf diesen Riemannschen Flächen, welche man mit hermiteschen Metriken ausstattet. Es wurden in diesem Projekt für hermitesche Azumaya-Algebren und hermitesche Azumaya Moduln angepasste arithmetische A-Chernklassen definiert. Anschließend wurden einige dieser neuen Klassen als auch gewöhnliche arithmetische Chernklassen explizit berechnet. Zum Beispiel wurde allgemein die erste arithmetische Chernklasse einer hermiteschen Azumaya-Algebra berechnet. Mit Hilfe dieser Chernklassen konnte dann eine einfache geschlossene Darstellung für die erste arithmetische Chernklasse der Deligne Paarung für hermitesche Azumaya Moduln hergeleitet werden, die die bekannte Formel für gewöhnliche hermitesche Geradenbündeln auf X verallgemeinert.
Publications
- The symplectic structure on the moduli space of line bundles on a noncommutative Azumaya surface. Preprint, 2015
Fabian Reede
- Hermitian Azumaya modules and arithmetic Chern classes. Preprint, 2016
Fabian Reede
- Torsion-free rank one sheaves over del Pezzo orders. Preprint, 2016
Norbert Hoffmann and Fabian Reede
