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Projekt
Entartungen von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten und Verwandte Geometrien
Antragsteller
Professor Dr. Helge Ruddat
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2015 bis 2022
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 272561367
Entartungen von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten und Verwandte Geometrien.Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten bilden eine bedeutende geometrische Klasse mit weitreichenden Beziehungen und Anwendungen in der mathematischen Physik und vielen Teilgebieten der Mathematik. Viele strukturelle Fragen zu den besonders interessanten dreidimensionalen Vertretern diesen Geometrien sind jedoch ungelöst, z.B. ob es endlich viele Deformationstypen gibt, in welchem Umfang Spiegelsymmetrie gilt oder ob extremale Übergänge alle Deformationstypen verbinden. Ziel des vorgeschlagenen Vorhabens ist die Entwicklung von Methodik zum Studium dieser Fragen. Der Grundansatz des Projekts ist die maximale Entartung der Geometrie. Im vergangenen Jahrzehnt wurden u.a. von Gross und Siebert Methoden entwickelt, welche es ermöglichen die Geometrie von Entartungen zu kontrollieren. Dabei wird logarithmische und tropische Geometrie eingesetzt. Die Motivation der Entartung entstammt insbesondere der mathematischen Physik im Zusammenhang mit dem um 1990 im Rahmen der Stringtheorie entdeckten Phänomen der Spiegelsymmetrie, einer tiefliegenden Beziehung von komplexer und symplektischer Geometrie von zwei verschiedenen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten. Die Strukturdaten auf der symplektischen Seite sind von holomorphen Kurven, die auf der komplexen Seite von Variationen der komplexen Struktur bestimmt. Das vorgeschlagene Vorhaben zielt darauf ab zu verstehen wie Kurven höheren Geschlechts mit entsprechenden komplexen Daten in Verbindung stehen. In diesem Zusammenhang sollen Methoden von Barannikov-Kontsevich und Costello-Li in logarithmische Geometrie übersetzt und weiterentwickelt werden. Auch die tropische Geometrie soll durch das Studium von tropischen Deformationen erweitert werden. Diese hängen mit der Vermutung von Morrison zusammen, dass Spiegelsymmetrie mit extremalen Übergängen kompatibel ist. Ein extremaler Übergang verbindet verschiedene Calabi-Yau-Geometrien und Reid hat vermutet, dass sogar alle dreidimensionalen Calabi-Yau-Geometrien durch solche Übergänge zusammenhängen. Fortschritte hinsichtlich dieser Vermutungen werden angestrebt. Schließlich sollen verwandte Strukturen wie homologische Spiegelsymmetrie relativ eines amplen Divisors und nicht-kompakte Calabi-Yau-Geometrien basierend auf Spektralkurven studiert werden, weil damit der Rahmen der Methodik auf weitere Anwendungsgebiete ausgedehnt wird.
DFG-Verfahren
Emmy Noether-Nachwuchsgruppen
Internationaler Bezug
Italien, USA
