Helical invariant flows: New conservation laws and their importance for 2 1/2D turbulence
Final Report Abstract
Im vorliegenden Projekt wurden helikal symmetrische Strömungen untersucht, bei der die Fluidteilchen gleichzeitig eine rotatorische und translatorische Bewegung ausführen und sich somit entlang einer Helix bewegen. Solchen Strömungen liegt eine Dimensionsreduktion zugrunde, was bedeutet, dass die Anzahl der Koordinaten, die zur Beschreibung der Strömung dienen, verringert wird. Die verbleibenden Koordinaten sind: der zylindrische Radius r und die helikale Variable ξ = az + bϕ. Im Laufe des Projektes wurden die folgenden Meilensteine erreicht: 1. Herleitung neuer Erhaltungssätze für viskose sowie nicht-viskose helikale Strömungen in einem zeitabhängigen Koordinatensystem; 2. Konstruktion von exakten Lösungen der grundlegenden helikal-invarianten Navier-Stokes Gleichungen; 3. Entwicklung eines numerischen Codes basierend auf dem Discontinuous Galerkin Verfahren zur Berechnung und Simulation helikal symmetrischer Strömungen; 4. Analyse von Energiespektren turbulenter helikal-invarianter Strömungen. Besonderer Fokus lag dabei auf der Entwicklung des numerischen Codes zur Simulation helikaler Strömungen. Dabei wurde aufgrund der Tatsache, dass helikale Strömungen periodisch in Richtung der zentralen Achse der Helix verlaufen, zunächst eine Periodizitätsbedingung für die helikalen Koordinaten hergeleitet. Analog zu dem aus der Literatur bekannten Vorgehen für achsensymmetrische Strömungen wurde eine Bedingung für die Geschwindigkeit und den Druck formuliert, wodurch die Eindeutigkeit dieser physikalischen Größen auf der zentralen Achse sichergestellt ist. Nach der Einführung eines geeigneten Funktionenraums wurde die räumliche und zeitliche Diskretisierung der helikal symmetrischen Navier-Stokes Gleichungen formuliert. Für die zeitliche Diskretisierung ist ein semi-explizites Verfahren dritter Ordnung verwendet worden, bei dem der räumliche Operator in einen expliziten und einen impliziten Teil aufgespalten wird. Hierdurch konnte der Rechenaufwand für instationäre Simulationen deutlich reduziert werden. Es wird die korrekte Implementierung anhand von verschiedenen Tests, einschließlich den zuvor gefundenen exakten Lösungen verifiziert. Zudem sind die aus der Theorie erwarteten Konvergenzraten erreicht worden. Schließlich konnten numerische Simulationen für hohe Reynolds-Zahlen durchgeführt werden, welche die Entstehung von Wirbeln, Kelvin-Helmholtz Instabilitäten und die zeitliche Entwicklung von Energiespektren für helikal invariante Strömungen darstellen.
Publications
- (2020) New similarity reductions and exact solutions for helically symmetric viscous flows. Physics of Fluids 32 (5) 053604
Dierkes, Dominik; Cheviakov, Alexei; Oberlack, Martin
(See online at https://doi.org/10.1063/5.0005423) - (2017). Euler and Navier-Stokes equations in a new time-dependent helically symmetric system: derivation of the fundamental system and new conservation laws. Journal of Fluid Mechanics, 818:344-365
Dierkes, D. and Oberlack, M.
(See online at https://doi.org/10.1017/jfm.2017.74)
