Operaden in der algebraischen Geometrie und ihre Realisierungen

• Antragsteller: Professor Dr. Jens Hornbostel; Professor Dr. Oliver Röndigs; Professor Dr. Markus Spitzweck; Privatdozent Dr. Manfred Stelzer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 269680815

Ein Hauptziel der algebraischen Topologie ist es, topologische Räume mit Hilfe algebraischer Invarianten zu studieren und zu klassifizieren. Zur Vereinfachung werden homotopieäquivalente Räume, also solche, die durch stetige Deformation ineinander übergehen, als gleichwertig betrachtet. Ein besonders prominentes Beispiel stellt die Fundamentalgruppe der Deformationsklassen punktierter Schleifen eines topologischen Raumes mit Basispunkt dar. Sie lässt sich auch beschreiben als Gruppe der Wegzusammenhangskomponenten des zugehörigen Schleifenraumes, also des topologischen Raumes punktierter stetiger Abbildungen des Kreises in den gegebenen Raum. Die Gruppenstruktur auf den Wegzusammenhangskomponenten des Schleifenraumes entsteht durch eine dem Schleifenraum inhärente Zusatzstruktur: eine Multiplikation, die assoziativ bis auf Homotopie ist. In Schleifenräumen von Schleifenräumen ist diese Multiplikation sogar kommutativ bis auf Homotopie. Weitere Iterationen verbessern die Multiplikation, und unendliche Schleifenräume sind gleichwertig mit besonders strukturierten und handhabbaren algebraischen Invarianten, den sogenannten zusammenhängenden Spektren.Die Frage, welche Zusatzstruktur ein topologischer Raum besitzen muss, damit dieser ein iterierter Schleifenraum sein kann, wird beantwortet durch sogenannte Erkennungsprinzipien. Diese kann man mit Hilfe von Wirkungen von Operaden (spezielle Ansammlungen topologischer Räume) formulieren. Obwohl die Theorie der Operaden ihre Ursprünge in der Homotopietheorie hat, bestehen vielfältige Anwendungen und Beispiele in anderen Disziplinen wie Algebra und mathematischer Physik. Bahnbrechende Arbeiten von Morel und Voevodsky aus den 90er Jahren erlauben es, Methoden der Homotopietheorie erfolgreich in der algebraischen Geometrie (die relativ starre, aus Lösungen von polynomiellen Gleichungen bestehende Objekte studiert) anzuwenden. Aufgrund der Verbindungen mit Grothendiecks Vision universeller Invarianten (Motive) dieser algebraischen Varietäten lautet dieser Import „motivische Homotopietheorie“. Ziel des vorliegenden Forschungsvorhabens ist es, operadische Methoden in der motivischen Homotopietheorie auszubauen. Im Einzelnen geht es um die Untersuchung, Konstruktion und Modifikation expliziter Operaden in der algebraischen Geometrie, die bekannte Modulräume algebraischer Kurven vom Geschlecht Null verallgemeinern. Bevorzugtes Mittel der Untersuchung werden verschiedene Realisierungen in der Topologie sein. Lediglich die algebraischen Operaden, deren topologische Realisierungen auf gewöhnlichen Schleifenräumen operieren, können überhaupt auf motivischen Schleifenräumen operieren. Letztere zeichnen sich durch die zusätzliche Komplexität eines weiteren „Kreises“ aus, dessen Eigenschaften gewisse Transferabbildungen induzieren. Die Einflechtung solcher Transferabbildungen wird eine der erwähnten Modifikationen sein, die Vervollständigung partieller Operadenstrukturen eine Weitere.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1786: Homotopietheorie und algebraische Geometrie