Die (gefärbten) sln Knoten Homologien und die kategoriellen Verzweigungsregeln: Kombination von zwei Methoden

• Antragsteller: Dr. Daniel Tubbenhauer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 269493184

Aus meinem aktuellen Papier folgt, dass man die (gefärbten) sln Knoten Homologien rein kombinatorisch erhalten kann, indem man die sogenannte zyklotomische KL-R Algebra Rm benutzt. In meiner Formulierung werden die Kettengruppen Rm-Moduln und die Differentiale Rm-Modul Homomorphismen. Diese Algebra haengt mit slm zusammen (mit m im Allgemeinen nicht n) und trägt eine Aktion von Sn (die symmetrische Gruppe in n-1 Erzeugern).Diese rein kombinatorische Formulierung ist überraschend wenn man bedenkt, dass es bekannt ist, dass diese sln Knoten Homologien mit Topologie und Geometrie zusammenhängen. Zum Beispiel hängen sie sehr nah mit den Knoten Floer Homologien zusammen, welche aus der Differentialgeometrie stammen.Es gibt in der klassischen Darstellungstheorie die sogenannte Verzweigungsregel (branching rule) für die Lie Algebra slm und auch für Sn. Grob: Man betrachtet die Einbettung von sl(k-1) in slk. Dies induziert den Einschränkungsfunktor res von slk-mod nach sl(k-1)-mod. Man zerlegt slk-Modul als direkte Summen von sl(k-1)-Moduln (welche als Algebra einfacher ist und einfachere Moduln hat). Dieses Verfahren kann man rekursive anwenden bis man eine direkte Summe von ''trivialen'' sl1-Moduln hat. Dasselbe funktioniert auch für Sn. Umgekehrt kann man auch den Ursprünglichen Modul aus kombinatorisch formulieren Schritten induktive aufbauen.Pedro Vaz (Gastgeber) hat diese klassische darstellungstheoretische Methode kategorifiziert: In einem seiner aktuellen Papiere hat er diese klassische Verzweigungsregel, welche durch Einbetten von sl(m-1) in slm kommt, für die zyklotomische KL-R Rm beschrieben. Dadurch kann man Rm-Moduln als direkte Summen von R(m-1)-Moduln erhalten. Man kann dieses Verfahren wieder rekursive anwenden: Alles zerlegt sich in direkte Summen von ''trivialen'' R1-Moduln. Umgekehrt kann man auch wieder den ursprünglichen Modul kombinatorisch Schritt für Schritt konstruieren.Die Idee für das Projekt ist es nun unsere beiden Resultate zu kombinieren: Aus meiner Arbeit folgt, dass die Knoten Homologien sich durch Rm-Moduln und Rm-Modul Homomorphismen beschreiben lassen und aus Vaz Arbeit folgt, dass sich Rm-Moduln in einfache Bausteine zerlegen lassen und sich aus einfachen Bausteinen aufbauen lassen.Die Frage, welche wir beantworten wollen ist es, ob wir die sln Knoten Homologien in einfache Bausteine zerlegen und umgekehrt induktive aus einfachen Bausteinen erzeugen können. Diese Frage (also wie die sln mit der sl(n-1) Homologie genau zusammenhängt) ist eine seit dem Anfang der Knoten Homolgien offene Frage.Außerdem ist außer den Fällen n=2, n=3 sehr wenig bekannt über die sln Knoten Homologien. Also wäre eine sich anschließende Fagestellung, ob wir die neue Interpretation nutzen können um mehr über die Homologien auszusagen oder neue Berechnungsmethoden zu erhalten.Und es gibt noch eine zweite mögliche Verzweigungsregel: Nämlich die oben erwähnte Aktion von Sn. Diese ist völlig neu, aber vielversprechend.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Belgien
• Gastgeber: Professor Dr. Jean-Marc Gerard; Professor Dr. Pedro Vaz