Local bifurcation analysis and global numerical pathfollowing for Turing patterns in 3D reaction--diffusion systems
Final Report Abstract
Die wichtigsten wissenschaftlichen Fortschritte im Rahmen des Projektes sind: 1. Weiterentwicklung von pde2path zu einem Paket, das die wesentliche Funktionalität eines Kontinuierungs-und Bifurkationsprogramms nun auch in 3D für eine große Klasse partieller Differentialgleichungen abdeckt. Hierzu gehören: Verwendung von Gittern mit hoher Symmetrie, um Äste mit entsprechender Symmetrie robust verfolgen zu können. Detektion mehrfacher Bifurkationen, sowie Algorithmen für stationäre Bifurkationen an Bifurkationspunkten hoher Multiplizität. Ergänzung der Numerik für das volle System mit einem Tool (ampsys) zur einfachen Herleitung der relevanten Amplitudensysteme. 2. Die Entwicklung der Tools aus Punkt 1 war wesentlich geprägt durch das Ziel der Anwendung von pde2path auf Probleme wie den Brusselator. Nach Überwindung der genannten Schwierigkeiten wurde mit den Ästen lokalisierter Muster und der Verbindung mit Ämplitudensystemen ein wesentlicher Fortschritt erzielt. 3. Etwas überraschend kam die durch die Münsteraner Gruppe angeregte intensive Anwendung von pde2path auf quasilineare Gleichungen 4.ter Ordnung. 4. Es wurden verschiedene neue Äste lokalisierter Muster in einer Swift-Hohenberg Gleichung gefunden und untersucht, und damit korrigierende Ergänzungen zu in der physikalischen Literatur vorherrschenden Vereinfachungen gegeben. Abweichungen vom geplanten Konzept sind: 5. Es wurden innerhalb dieses Projektes keine exponentiellen Asymptotiken zur Beschreibung lokalisierter Muster untersucht, da sich das Problem als zu umfangreich erwiesen hat, und als nicht zentral für pde2path. Stattdessen wurde in meiner Gruppe eine Arbeit geschrieben, die sich auf Reaktions-Diffusions-Systeme in 1D konzentriert. 6. Noch nicht umfassend weiterentwickelt wurde die adaptive Gitterverfeinerung in 3D. In pde2path gibt es eine undokumentierte Version einer solchen, aber diese bedarf weiterer Verbesserungen und Tests für die Übernahme in das offizielle Paket. Für die 3D periodischen Muster, bzw. die Fronten zwischen periodischen Mustern, war eine adaptive Gitterverfeinerung nicht zentral wichtig. Das Problem wird jedoch in Kürze wieder aufgenommen. 7. Ebenfalls zu kurz gekommen ist die direkte Interaktion mit experimentellen Gruppen zu 3D Problemen. Dies liegt u.a. daran, dass pde2path bis ca. Mitte 2018 noch nicht robust genug für experimentell relevante 3D Probleme war. Stattdessen wurden unerwartet 2D Probleme mit enger experimenteller Anbindung umfassend untersucht.
Publications
- Pattern analysis in a benthic bacteria-nutrient system. Math. Biosci. Eng., 13(2):303–332, 2016
D. Wetzel
(See online at https://doi.org/10.3934/mbe.2015004) - Tristability between stripes, up-hexagons, and down-hexagons and snaking bifurcation branches of spatial connections between up- and down-hexagons. Phys. Rev. E, 97(06221), 2018
D. Wetzel
(See online at https://doi.org/10.1103/PhysRevE.97.062221) - Continuation for thin film hydrodynamics and related scalar problems. In Computational Modeling of Bifurcations and Instabilities in Fluid Mechanics, pages 459–501. Springer, 2019
S. Engelnkemper, S. V. Gurevich, H. Uecker, D. Wetzel, and U. Thiele
(See online at https://doi.org/10.1007/978-3-319-91494-7_13) - Defect–like structures and localized patterns in SH357. In Phys. Rev. E, 2019
E. Knobloch, H. Uecker, and D. Wetzel
(See online at https://doi.org/10.1103/PhysRevE.100.012204) - Snaking branches of planar BCC fronts in the 3D Brusselator. 2019
H. Uecker and D. Wetzel
(See online at https://doi.org/10.1016/j.physd.2020.132383) - The ampsys tool of pde2path, 2019
H. Uecker and D. Wetzel
