Regularity of Evolutionary Problems via Harmonic Analysis and Operator Theory

• Applicant: Professor Dr. Wolfgang Arendt
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2014 to 2018
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 263969954

• Final Report Year: 2020

Final Report Abstract

Die wesentlichen Ergebnisse dieses Projektes fallen in 2 Themenbereiche: 1. Maximale Regularität nicht autonomer Evolutionsgleichungen: a) Die Frage der maximalen Regularität der von einer nicht-autonomen Form in einem Hilbertraum definierten Evolutionsgleichung (das Lions’sche Problem) konnte vollständig geklärt werden. Man kann die genaue Zeitregularität angeben, für die maximale Regularität gilt. Eine besondere Herausforderung war der symmetrische Fall, der für die Anwendungen besonders wichtig ist und bei dem die Problematik der Wurzeleigenschaft (Kato-Problem) nicht auftritt. Stefan Fackler hat ein symmetrisches Gegenbeispiel angegeben, bei dem Hölderregularität in der Zeit von Index 1/2 gegeben ist. Auf der anderen Seite gilt eine positive Aussage bei Hölderindex größer als 1/2 (Ouhabaz-Spina). b) Für nicht-autonome Gleichungen in UMD Banachräumen konnte maximale L_p Regularität im Falle von beschränkter Variation in der Zeit und bei gewisser fraktionärer Sobolevscher Zeitregularität nachgewiesen werden. Diese Ergebnisse scheinen sehr nah am Optimum zu liegen und wir denken, dass des sich um definitive Ergebnisse handelt. Die zu nicht-autonomen Gleichungen erzielten Ergebnisse wurden von Stefan Fackler als alleiniger Autor in drei Artikeln in herausragenden Zeitschriften veröffentlicht. Hinzu kommt ein Artikel zum Lionsschen Problem mit Koautoren. 2. Operator wertige Fourier Multiplikatoren: Es wurde gezeigt, dass die Littlewood-Paley Zerlegung mit Werten in einem UMD Raum bei Muckenhoupt Gewichten eine unbedingte Schauderzerlegung definiert. Das ist ein zentrales Resultat, das den Schlüssel zu Multiplikatorensätzen liefert.

Publications

• J.-L. Lions’ problem concerning maximal regularity of equations governed by non-autonomous forms. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 34 (2017) 699–709
  S. Fackler
  
• J.L. Lions’ problem on maximal regularity. Arch. Math. 109 (2017) 59-72
  W. Arendt, S. Fackler, D. Dier
  
• Non-autonomous maximal regularity for forms given by elliptic operators of bounded variation. J. Differential Equations 263 (2017), n. 6, 3533–3549
  S. Fackler
  
• Non-autonomous maximal Lp regularity under fractional Sobolev regularity in time: Anal. PDE 11 (2018) 1143–1169
  S. Fackler
  
• Off-diagonal sharp two-weight estimates for sparse operators. New York J. Math, 24 (2018), 21–42
  S. Fackler, T. Hytönen
  
• Weighted estimates for operator-valued Fourier multipliers
  S. Fackler, T. P. Hytönen, N. Lindenmulder