Theorie stehender und auslaufender Wellen für nichtlineare Helmholtzgleichungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Verständnis und die mathematische Modellierung von Phänomenen der Wellenausbreitung in nichtlinearen Medien ist einerseits große Herausforderung und andererseits bedeutende Inspiration für die Entwicklung neuer effizienter Methoden innerhalb der nichtlinearen Analysis. Grundlegend für dieses Verständnis ist die detaillierte Analyse zeitperiodischer Lösungen nicht linearer Wellengleichungen, welche sowohl stehende Wellen als auch Streuwellen im Rahmen einer stationären Theorie repräsentieren können. Der zeitperiodische Ansatz führt im Fall hoher Wellenzahlen auf die Klasse nichtlinearer Helmholtzgleichungen, für die bisher ausschließlich störungstheoretische Lösungsansätze auf Basis der linearen Theorie existierten. Im vorliegenden Projekt wurden neue funktionalanalytische Techniken entwickelt, um spezielle Lösungen in Form von stehenden Wellen als auch in Form von Streuwellen zu konstruieren und durch Fernfeldentwicklungen zu charakterisieren. Insbesondere konnten durch eine Weiterentwicklung dualer variationeller Methoden weitreichende Fortschritte für das Verständnis der Menge stehender Wellenlösungen erzielt werden. Spezielle Lösungen wurden als duale Grundzustände energetisch charakterisiert und in Bezug auf ihr Konzentrationsverhalten im Fall hoher Wellenzahlen analysiert. Darüber hinaus wurden im Rahmen eines erweiterten methodischen Ansatzes fehlende Kompaktheitseigenschaften in den Fällen von Nichtlinearitäten mit kritischem Wachstum durch präzise Energie- und Singularitätsabschätzungen kompensiert. Ferner wurden Symmetrieeigenschaften verwendet, um Operatornormen gewichteter Helmholtzresolventen für einen erweiterten Parameterbereich von Räumen p-integrierbarer Funktionen zu beschränken und dadurch stehende Wellenlösungen für Nichtlinearitäten mit schwachem asymptotischen Wachstum zu konstruieren. Im Zuge der Weiterentwicklung einer nichtlinearen stationären Streutheorie liefert das Projekt die ersten Ergebnisse überhaupt jenseits des störungstheoretischen Ansatzes, welcher auf die Untersuchung kleiner einlaufender Wellen beschränkt ist. Da das Problem der Konstruktion und Analyse von komplexwertigen Streuwellen in diesem Fall keine variationelle Struktur hat, wurden topologische Fixpunktsätze und globale Verzweigungsmethoden angewandt, um für große einlaufende Wellen zumindest im linear beschränkten Fall und auch für defokussierende Nichtlinearitäten Existenzresultate zu erhalten. Auf der anderen Seite konnte im Fall fokussierender Nichtlinearitäten eine verzweigungstheoretische Alternative gezeigt werden, die Anlass für weiterführende zukünftige Untersuchungen und eine Erweiterung des stationären Streuwellenmodells bietet.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Dual variational methods and nonvanishing for the nonlinear Helmholtz equation, Adv. in Math. 280 (2015), pp. 690–728
G. Evéquoz and T. Weth
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Branch continuation inside the essential spectrum for the nonlinear Schrödinger equation, Journal of Fixed Point Theory and Applications 19 (2017) pp. 475-502
G. Evéquoz and T. Weth
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Multiple standing waves for the nonlinear Helmholtz equation concentrating in the high frequency limit, Annali di Matematica Pura ed Applicata 196 (2017), pp. 2023–2042
G. Evéquoz
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On the periodic and asymptotically periodic nonlinear Helmholtz equation, Nonlinear Analysis 152 (2017) pp. 88-101
G. Evéquoz
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Dual ground state solutions for the critical nonlinear Helmholtz equation, Proc. Royal Soc. Edinburgh A 150 (2020), pp. 1155–1186
G. Evéquoz, T. Yesil
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Complex solutions and stationary scattering for the nonlinear Helmholtz equation
G. Evéquoz, H. Chen, T. Weth
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Fourier-extension estimates for symmetric functions and applications to nonlinear Helmholtz equations
T. Yesil, T. Weth
