Transient Behavior and Entropy for Dynamical and Control Systems
Final Report Abstract
Das Ziel dieses Projekts war die Analyse des transienten Verhaltens von deterministischen Kontrollsystemen und zufälligen dynamischen Systemen. Dabei sollten für Systeme in kontinuierlicher und diskreter Zeit die folgenden drei Themenkomplexe barbeitet werden: (i) Theorie relativ invarianter Kontrollmengen (also Teilmengen des Zustandsraums, in denen approximative Erreichbarkeit gilt und die maximal in einer vorgegebenen Teilmenge sind); (ii) Quasi-stationäre Maße und ihre Träger für zufällige dynamische Systeme; (iii) Metrische Invarianz-Entropie für Kontrollsysteme und ihre Beziehung zur topologischen Invarianz-Entropie. Für Systeme in kontinuierlicher Zeit konnte eine Theorie von relativ invarianten Kontrollmengen entwickelt werden, die ihre Existenz, ihre Anzahl und ihre topologischen Eigenschaften beschreibt. Dabei konnte auch gezeigt werden, dass auf ihnen bereits die topologische Invarianz-Entropie bestimmt ist. Invarianz-Entropie ist ein Maß für die Information, die benötigt wird, um eine Teilmenge des Zustandsraums durch Steuerungen invariant zu machen. Für degenerierte Markov-Diffusionsprozesse war seit langem bekannt, dass die Träger invarianter Maße durch invariante Kontrollmengen beschrieben werden können. Überraschenderweise ergab sich im Laufe des Projekts, dass dies auch für Systeme mit zufälligem Schalten gilt. Quasi-stationäre Maße sind ein klassischer Bereich in der Stochastik. In Zusammenhang mit Kontrollsystemen und ihrer Invarianz-Entropie ergeben sich jedoch neue Perspektiven darauf. Für eine metrische Invarianz-Entropie konnte ein Konzept entwickelt werden, das darauf beruht, ein Wahrscheinlichkeitsaufmaß den Kontrollwerten vorzugeben. Dann kann für ein zugehöriges quasistationäres Maß eine (metrische) Invarianz-Entropie definiert werden, von der man zeigen kann, dass sie nach oben durch die topologische Invarianz-Entropie beschränkt ist und dass sie invariant unter messbaren Konjugationen bleibt. Dies ist bisher auf Systeme in diskreter Zeit beschränkt. Die noch im Antrag vorgeschlagene Untersuchung eines Variationsprinzips, das die topologische Invarianz-Entropie als Supremum der metrischen Invarianz-Entropien liefern sollte, wurde nicht weiter verfolgt, weil sie nicht mehr angemessen erscheint: Metrische Invarianz-Entropie wird eingeführt, weil sie kleiner ist als die topologische Invarianz-Entropie und damit weniger Information benötigt. Interessanter ist die allerdings noch offene Frage nach einer unteren Grenze für metrische Invarianz-Entropie. Ebenfalls offen geblieben ist die Charakterisierung der Träger von quasi-stationären Maßen.
Publications
- F. Colonius, R. Lettau, Relative controllability properties, IMA Journal of Mathematical Control and Information 33 (2016), 701-722
F. Colonius, R. Lettau
(See online at https://doi.org/10.1093/imamci/dnv004) - Metric invariance entropy and conditionally invariant measures, Ergodic Theory and Dynamical Systems. First published online: 20 October 2016
F. Colonius
(See online at https://doi.org/10.1017/etds.2016.72) - Supports of invariant measures for piecewise deterministic Markov processes, Nonlinearity 30 3400 (2017)
Benaïm, M.; Colonius, F.; Lettau, R.
(See online at https://doi.org/10.1088/1361-6544/aa7e94) - Decay rates for stabilization of linear continuoustime systems with random switching, Mathematical Control & Related Fields, 2019, 9 (1) : 39-58
Colonius, Fritz; Mazanti, Guilherme
(See online at https://doi.org/10.3934/mcrf.2019002)
