Glatte Kategorien und motivische Maße

• Antragsteller: Dr. Olaf Schnürer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 259130191

In der nichtkommutativen Geometrie betrachtet man statt geometrischer Objekte oft differentiell graduierte (dg) Kategorien. Dies ist dadurch motiviert, dass man jeder komplexen Varietät dg Kategorien von Garben zuordnen kann, die interessante derivierte Kategorien beschreiben. Das Wörterbuch, das angibt, wie sich Begriffe aus der Geometrie in die dg Welt übersetzen, ist leider noch nicht ausreichend entwickelt. Begriffe wie Glattheit oder Kompaktheit existieren zwar in der dg Welt, jedoch ist etwa die genaue Beziehung zwischen geometrischer und homologischer Glattheit nicht zufriedenstellend geklärt. Der erste Teil unseres Forschungsvorhabens besteht darin, diese Beziehungen genau auszuarbeiten und präzise Übersetzungen zu geben. Um dieses Ziel zu erreichen, wollen wir verallgemeinerte Cech-Enhancements verwenden. Diese Fragestellungen sind motiviert durch unsere vorherige Zusammenarbeit mit Herrn Professor Valery Lunts zur Konstruktion motivischer Maße mittels Matrixfaktorisierungen. Motivische Maße sind Ringmorphismen von Grothendieckringen von Varietäten in geeignete Zielringe. Im Fall des von uns konstruierten Maßes ist der Zielring ein Grothendieckring von glatten dg Kategorien. Im zweiten Teil unseres Vorhabens möchten wir einerseits unser motivisches Maß mit dem zuvor bekannten Maß vergleichen, das einer glatten projektiven komplexen Varietät die dg Version ihrer beschränkten derivierten Kategorie zuordnet, und andererseits mit Hilfe motivischer verschwindender Fasern ein anderes motivisches Maß konstruieren, das dann ebenfalls mit dem zuvor erwähnten Maß verglichen werden soll.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Beteiligte Institution: University of Indiana ; Department of Mathematics
• Gastgeber: Professor Dr. Valery Lunts