Stabilität, Instabilität und Bifurkation bei Strömungen mit freier Oberfläche über gewellte geneigte Böden
Final Report Abstract
Ausgehend von den Navier-Stokes-Gleichungen, welche das Geschwindigkeitsfeld der Strömung beu schreiben, wurden Modellgleichungen für die Filmdicke und die lokale Flussrate hergeleitet. Im praktisch relevanten Fall eines dünnen Films über einem leicht gewellten Boden kann ein Störungsparameter eingeführt werden, der die asymptotische Entwicklung von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen ermöglicht. Benutzt man diese als Ansatzfunktion in einem Galerkin-Verfahren, erhält man ein nichtlineares System parabolischer partieller Differentialgleichungen für die zeitliche Entwicklung der Filmdicke und der Flussrate. Aufgrund der angewendeten Methoden wird dieses System Weighted Residual Integral Boundary Layer (WRIBL) Gleichung genannt. Durch den Vergleich mit sowohl experimentellen Daten als auch voller Navier-Stokes-Numerik wurde anschließend in numerischen Simulationen die Gültigkeit des Modells für einen großen Parameterbereich nachgewiesen. Dieser schließt aufgrund der speziellen Wahl des Geschwindigkeitsfeldes bei der Herleitung der WRIBL Gleichung sogar Fälle ein, bei denen in den Bodensenken Wirbel auftreten. Des Weiteren wurde für kleine Neigungswinkel eine Kurzwelleninstabilität laminarer Strömungen beobachtet, die es im Fall eines flachen Bodens nicht gibt. Schließlich wurde gezeigt, dass stationäre Lösungen im linear stabilen Fall, also für Reynoldszahlen unterhalb der kritischen Reynoldszahl Rcrit , nichtlinear stabil sind und lokale Störungen der freien Oberfläche analog zu den selbstähnlichen Lösungen der viskosen Burgers-Gleichung abklingen. Da die WRIBL Gleichung aufgrund der freien Oberfläche eine ganze Familie stationärer Lösungen mit unterschiedlicher mittlerer Filmdicke besitzt, hat die Linearisierung um eine stationäre Lösung stets ein essentielles Spektrum bis an die imaginäre Achse. Deshalb muss die WRIBL Gleichung mit ihrer vollen Nichtlinearität untersucht werden, wobei im Wesentlichen die folgenden beiden Schwierigkeiten auftreten. Zum einen muss aufgrund der periodischen Koeffizienten die über flachem Boden verwendete Fourieranalysis durch das Konzept der Blochwellen ersetzt werden. Zum anderen ist die WRIBL Gleichung quasilinear, sodass zum Nachweis lokaler Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung die Methode der maximalen Regularität benötigt wird. Das Abklingen der Störung und damit insbesondere globale Existenz liefert anschließend ein Renormierungsprozess.
Publications
- An integral boundary layer equation for film flow over inclined wavy bottoms. Phys. Fluids, 21(9):092105, 2009
T. Häcker and H. Uecker
- Modeling of film flows over inclined wavy bottoms. PAMM, 8(1):10721–10722, 2009
T. Häcker and H. Uecker
- Modeling, simulation, and nonlinear analysis for film flow over inclined wavy bottoms. Shaker-Verlag, Aachen 2010, ISBN 978-3-8322-8952-2
T. Häcker
