Mathematical methods for the study of equations of generalized viscous fluids

• Applicant: Privatdozent Dr. Jörg Wolf
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2014 to 2018
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 256634185

• Final Report Year: 2019

Final Report Abstract

Strömungen viscoser inkompressibler Fluide werden durch Gleichungen beschrieben, die eine Verallgemeinerung der Navier-Stokes Gleichungen darstellen. Die Unbekannten, die hierbei auftreten, sind zum einen das Geschwindigkeitsfeld der Strömung und zum anderen die Druckfunktion. Warend die Existenz der Druckfunktion im Fall der Navier-Stokes Gleichungen in regulären Gebieten gewärleistet ist, gilt dies im allgemeinen nicht für komplexere Systeme, wie zum Beispiel für Stömumgsgleichungen nicht-Newtonscher Fluide. Dies macht es um so schwieriger lokale Regularitätsfragen für derartige Systeme zu klären. Mit der Einführung der Methode der lokalen Druckprojektion gelang es, die Methode von Caffarelli-Kohn-Nirenberg soweit zu verallgemeinern, dass man in der Lage ist, die Regularitätsaussagen auch ohne die Existenz einer Druckfunktion zu beweisen. Die wichtigen Regularitätsfragen zu nicht-Newtonschen Flüssigkeiten konnte nicht abschließend geklärt werden. Entsprechende Publikationen zu diesem Thema sind noch in Vorbereitung. Insgesamt benötigen wir hierfür drei sehr technisch aufwendige Publikationen zu den Themen lokale Regulitätsbedingung vom Serrin-Typ, lokale Hölderstetigkeit von schwachen Lösungen des p-Stokes Systems und partielle Regularität (Verallgemeinerung des Satzes von Caffarelli-Kohn-Nirenberg) für das p-Navier-Stokes System.

Publications

• On regularity and singularity for L∞ (0, T ; L3,w (R3 )) solutions to the Navier–Stokes equations
  H.J. Choe, M. Yang and J. Wolf
  
• On the Liouville Type theorems for self-similar solutions to the Navier–Stokes equations, Arch. Rational Mech. Anal. 225 (2017) 549–572
  D. Chae and J. Wolf
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00205-017-1110-7)
• On the local pressure of the Navier-Stokes equations and related systems, Adv. Differ. Equ. 22, (2017), 305-338
  J. Wolf
  
• A new local regularity criterion for suitable weak solutions of the Navier–Stokes equations in terms of the velocity gradient, Math. Ann. 370 (2018), 629–647
  H.J. Choe, M. Yang and J. Wolf
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00208-017-1522-6)