Analysis of path properties of stochastic processes via generalized indices under allowance of time inhomogeneity
Final Report Abstract
Zufällige Phänomene, die sich in der Zeit entwickeln, werden in der Mathematik mittels stochastischer Prozesse modelliert. Die von meinen Co-Autor*Innen und mir verwendeten Indizes sowie das stochastische Symbol dienen dazu zu überprüfen, ob bestimmte Eigenschaften der Modelle mit der Realität übereinstimmen. Bisher war die Theorie auf den Fall zeitlich homogener Prozesse beschränkt. Dadurch ergaben sich Probleme im Bereich der mathematischen Modellierung, da sich das Wetter oder Aktienkurse nicht zu jeder Zeit auf dieselbe Weise entwickeln. In meinem Projekt gelang es, das stochastische Symbol auf den zeitlich inhomogenen Fall zu verallgemeinern. Es konnte aufgezeigt werden, dass ein enger Zusammenhang zu dem komplementären Symbolbegriff der Funktionalanalysis besteht. Außerdem ließen sich zeitlich abhängige Indizes definieren. Es war überraschend zu sehen, dass der Zusammenhang zwischen den Indizes und Eigenschaften der Prozesse in diesem allgemeineren Setting wesentlich komplizierter ist als im klassischen zeitlich homogenen Fall. Da diese Fragen nicht abschließend geklärt werden konnten, führt mein Doktorand die Untersuchungen weiter. Erfolgreicher war der zweite Teil meines Projektes, in dem neue Anwendungsfelder für das Symbol gefunden werden sollten: Mit Martynas Manstavicius (Vilnius) konnte ich zeigen, dass man über das Symbol Kriterien dafür angeben kann, wann die totale Variation der Pfade von stochastischen Prozessen unendlich groß wird, also bestimmte Realisationen dieser Prozesse in endlicher Zeit unendlich stark fluktuieren. Gemeinsam mit Anita Behme (Dresden) konnte ich ein Resultat beweisen, welches einen Zusammenhang zwischen dem Symbol und sogenannten stationären Verteilungen herstellt. Dabei handelt es sich um stabile Zustände, auf welche stochastische Prozesse zustreben (wenn man die Zeit ‘gegen unendlich gehen’ lässt). Mit Paul Krühner (Wien) habe ich untersucht, welche Rolle das Symbol bei zufälligen Zeitwechseln spielt. Das Symbol erweist sich in seiner Vielseitigkeit immer mehr als das ‘Schweizer Taschenmesser’ zur Analyse stochastischer Prozesse.
Publications
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(2017) Criteria for the finiteness of the strong p -variation for Lévy-type processes. Stochastic Analysis and Applications 35 (5) 873–899
Manstavičius, Martynas; Schnurr, Alexander
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(2018) Time change equations for Lévy-type processes. Stochastic Processes and their Applications 128 (3) 963–978
Krühner, P. und Schnurr, A
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A Criterion for Invariant Measures Based on the Symbol. Bernoulli 21(3) (2015), 1697–1718
Behme, A. und Schnurr, A.
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Comparison of Time-inhomogeneous Markov Processes. Advances in Applied Probability 48(4) (2016), 1015–1044
Rüschendorf, L., Schnurr, A. und Wolf, V.
