Summen von Quadraten in der konvexen algebraischen Geometrie

• Antragsteller: Professor Dr. Claus Scheiderer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 253289397

• Erstellungsjahr: 2021

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Das Vorgängerprojekt zu diesem Projekt befaßte sich mit semidefiniten Darstellungen konvexer Mengen und hatte als Hauptergebnis die Widerlegung der Helton-Nie Vermutung. Im jetzigen Projekt versuchten wir, die Komplexität solcher Darstellungen in ausgewählten Situationen nach oben zu beschränken. Es wurde gezeigt, daß abgeschlossene konvexe Mengen in der Ebene immer SOCP-darstellbar ist, der Beweis ist sogar im wesentlichen konstruktiv. Gemeinsam mit Averkov versuchten wir, das Resultat auf konvexe Hüllen von Kurven im Rn auszudehnen. Das erwartete Resultat besagt, daß es geliftete LMI-Darstellungen gibt, welche blockdiagonale Summe von Darstellungen kleiner Größe sind (nämlich von Größe ≤ n+1 ). Für monomiale Kurven konnte das bereits bewiesen werden, wieder ist der Beweis konstruktiv. Wir betrachteten auch den Satz von Helton-Nie, nach dem kompakte konvexe Mengen mit nichtsingulärem Rand von strikt positiver Krümmung semidefinit darstellbar sind. Dieses Ergebnis konnten wir erheblich verschärfen, indem wir zeigen, daß solche Mengen sogar SOCP-darstellbar sind. Andererseits untersuchten wir Gramspektraeder, sie parametrisieren die sos Darstellungen von Polynomen. Zusammen mit zwei Doktoranden wurden die möglichen Ränge und Dimensionen von Seiten untersucht, und eine Serie von Resultaten wurde für quadratische Formen auf Varietäten von minimalem oder fast minimalem Grad erzielt. Sie zeigen, welche Restriktionen für die Ränge und Dimensionen bestehen, oder betreffen z.B. polyedrische Seiten. Schließlich wurden gemeinsam mit Kobert auch Ergebnisse des Vorgängerprojekts verschärft. Als eine der Konsequenzen erhalten wir viele zuvor unbekannte Familien von doppelt spektraedrischen Mengen (tatsächlich sind alle polaren Orbitope von diesem Typ).

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Extreme points of Gram spectrahedra of binary forms
  C. Scheiderer
  
• Semidefinite representation for convex hulls of real algebraic curves. SIAM J. Appl Algebra Geometry 2, 1–25 (2018)
  C. Scheiderer
  
• Spectrahedral and semidefinite representability of orbitopes. PhD Thesis, Universität Konstanz, 2018
  T. Kobert
  
• Spectrahedral shadows. SIAM J. Appl Algebra Geometry 2, 26–44 (2018)
  C. Scheiderer
  
• Spectrahedral representation of polar orbitopes. Manuscripta mathematica
  T. Kobert, C. Scheiderer
  
• Dimensions of Faces of Gram Spectrahedra. PhD Thesis,, Universität Konstanz, 2021
  J. Vill
  
• Polyhedral faces in Gram spectrahedra of binary forms. Linear Algebra and its Applications 608, 133–157 (2021)
  Th. Mayer
  
• Second-order cone representation for convex sets in the plane. SIAM J. Appl Algebra Geometry 5, 114–139 (2021)
  C. Scheiderer