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Projekt
Symmetries of singular del Pezzo surfaces in algebraic and arithmetic geometry
Antragsteller
Professor Dr. Ulrich Derenthal; Professor Dr. Jürgen Hausen
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2013 bis 2017
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 239414690
Eine zentrale Aufgabe der algebraischen Geometrie ist die Klassifikation von algebraischen Varietäten, also der Lösungsmengen polynomialer Gleichungssysteme. Eines der ältesten Probleme der Zahlentheorie ist die Frage nach rationalen Lösungen diophantischer Gleichungen; in der Sprache der algebraischen Geometrie bedeutet dies, die Frage nach der Existenz und Verteilung rationaler Punkte auf algebraischen Varietäten zu studieren. Das Projekt greift beide Fragestellungen für die Klasse der (möglicherweise singulären) del-Pezzo-Flächen auf; diese spielen als wichtige Bausteine eine zentrale Rolle in der Klassifikationstheorie algebraischer Varietäten. Sie sind aus zahlentheoretischer Sicht besonders interessant, da hier die Verteilung rationaler Punkte von der Manin-Vermutung präzise vorhergesagt wird. Wir werden Symmetrien von del-Pezzo-Flächen untersuchen, Verfahren zur Bestimmung von Automorphismengruppen entwickeln, del-Pezzo-Flächen mit reichhaltiger Symmetrie klassifizieren und ihre rationalen Punkte untersuchen. Unser Zugang zur Bestimmung und Beschreibung von Automorphismengruppen basiert auf Cox-Ringen. Die Wahl eines geeigneten Ansatzes zur Manin-Vermutung hängt von den Symmetrien ab: Bei unendlicher Automorphismengruppen ist es vielsprechend, harmonische Analysis zu verwenden; andernfalls ist ein Zugang über universelle Torsore, die wiederum von den Cox-Ringen explizit beschrieben werden, in Kombination mit analytischer Zahlentheorie geeignet. In dem Projekt kombinieren wir theoretische und algorithmische Methoden zur Bestimmung von Automorphismengruppen und Cox-Ringen, zur Klassifikation singulärer del Pezzo Flächen und zum Beweis der Manin-Vermutung. Außerdem erstellen wir eine Datenbank von del-Pezzo-Flächen, die diese Informationen enthält.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
