A Riemannian analogue of the Einstein constraint equations
Final Report Abstract
In der Allgemeinen Relativitätstheorie benutzt man zur Modellierung eines isolierten Gravitationssystems (z. B. eines Sonnensystems) gewisse Räume, die asymptotisch flache Mannigfaltigkeiten genannt werden. Aus der Geometrie eines solchen Raumes kann man die sogenannte ADM-Masse berechnen, die nach den Physikern Arnowitt, Deser und Misner benannt ist und in physikalischen Modellen als Gesamtenergie des Systems interpretiert wird. Aus der mathematischen Definition ist nicht klar, dass die ADM-Masse immer positiv oder null ist. Es sind sogar Beispiele mit negativer ADM-Masse bekannt. Daher ist es interessant zu fragen, unter welchen geometrischen Annahmen man streng mathematisch beweisen kann, dass die ADM-Masse positiv oder null ist. Die sogenannte Positive-Masse-Vermutung besagt, dass dies der Fall ist, wenn die Skalarkrümmung der Mannigfaltigkeit integrierbar und positiv oder null ist. Diese Vermutung ist in zahlreichen Spezialfällen bewiesen, der allgemeine Fall aber gilt als ein großes ungelöstes Problem. In diesem Projekt haben wir gezeigt, dass ein Beweis des allgemeinen Falles bereits folgt, wenn man die Vermutung für eine sehr kleine Klasse von Räumen bewiesen hat, die wir genau bezeichnen können. Man kann sich daher in zukünftigen Arbeiten auf einen Beweis für diese Räume konzentrieren. Es besteht große Hoffnung, dass ein Beweis für diese Räume gefunden werden kann, da man hier spezielle mathematische Strukturen benutzen kann, die im allgemeinen Fall nicht zur Verfügung stehen.
Publications
- About the mass of certain second order elliptic operators, Preprint
A. Hermann, E. Humbert
