Coarse geometry and applications to the Baum-Connes conjecture

• Applicant: Professor Dr. Thomas Schick
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2006 to 2011
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 23527961

• Final Report Year: 2011

Final Report Abstract

Das Thema des geförderten Projekts war die grobe Geometrie („coarse geometry") welche unendlich ausgedehnte Räume im Limes beliebig großer Zahle analysiert und die Anwendung der Erkenntnisse und Methoden der groben Geometrie in verschiedenen Kontexten. Hierbei gab es mehrere Foki: • Grundlagen, insbesondere der Homotopietheorie grober Räume • Skalenlimiten, Felder und Operatoren auf groben Räumen • grobe C*-Algebren mit Koeffizienten, (grobe) Baum-Connes-Vermutung • geometrische Konsequenzen und Anwendungen grober Geometrie • L2-Bettizahlen und L2-Indextheorem Es hat sich dabei ergeben, dass die geometrischen Anwendungen, im Vergleich zum Projektantrag, einen etwas größeren Raum eingenommen haben. Weiter stellte sich heraus, dass zur Realisierung dieser geometrischen Anwendungen zusätzliche Invarianten benötigt wurden - konkret L2-Indizes (mit einem geeigneten L2-Indextheorem). Highlights: • Vergrößerbarkeit von Mannigfaltigkeiten im Sinne von Gromov-Lawson impliziert, dass Rosenbergs alpha-Invariante in der K-Theorie der reduzierten Gruppen-C*-Algebra nicht verschwindet. Hierzu werden neue Grobräume, insbesondere der „Ballonraum" eingeführt und für diese die grobe Baum-Connes-Vermutung bewiesen, sowie ein neues L2- Indextheorem bewiesen und benutzt. • Die groben Homotopiegruppen der von Rn+1 stimmen (mit der kanonischen Vergleichsabbildung) mit den gewöhnlichen Homotopiegruppe von Sn überein. • Für Fundamentalgruppen mit Torsion kann man die L2-rho-Invariante einsetzen, um unendlich viele Bordismusklassen von Metriken mit positiver Skalarkrümmung zu konstruieren und zu unterscheiden, sobald es nur eine davon gibt. • Für torsionsfreie Fundamentalgruppen und bei positiver Skalarkrümmung sind die L2-rho-InVarianten Null, falls für diese Gruppe die Baum-Connes-Assemblierungsabbildung für die maximale C*-Algebra ein Isomorphismus ist.

Publications

• Bordism, rho-invariants and the Baum-Connes conjecture, J. Noncommut. Geom. 1 (2007), no. 1, 27-111
  Paolo Piazza and Thomas Schick
  
• Finite group extensions and the Baum-Connes conjecture, Geom. Topol. 11 (2007), 1767-1775
  Thomas Schick
  
• Groups with torsion, bordism and rho invariants, Pacific J. Math. 232 (2007), no. 2, 355-378
  Paolo Piazza and Thomas Schick
  
• Rough Isometries of Lipschitz Function Spaces, 2007
  Andreas Lochmann
  
• Coarse topology, enlargeability, and essentialness, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 4 1 (2008), no. 3, 471-493
  Bernhard Hanke, Dieter Kotschick, John Roe, and Thomas Schick
  
• Approximation of center valued L2-Betti numbers and the centervalued Atiyah conjecture, Dissertation, Georg-August-Universität Göttingen, 2009
  Anselm Knebusch
  
• Rough isometrics of order lattices and groups. Dissertation, Georg-August-Universität Göttingen, 2009
  Andreas Lochmann
  
• Some aspects on Coarse homotopy theory. Dissertation, Georg-August-Universität Göttingen, 2009
  Behnam Norouzizadeh
  
• Irreducible Elements in Metric Lattices, 2010
  Andreas Lochmann
  
• Shared Rough and Quasi-Isometries of Groups, 2010
  Andreas Lochmann
  
• The general notion of descent in coarse geometry, Algebr. Geom. Topol. 10 (2010), no. 4, 2419-2450
  Paul D. Mitchener
  
• Approximation of center-valued Betti-numbers, Houston Journal of Mathematics 37 (2011)
  Anselm Knebusch
  
• The Atiyah conjecture and Artinian rings. Pure and Applied Mathematics Quarterly 8 (2012), 313-328
  Peter Linnell and Thomas Schick