Meshfree methods for the numerical solution of partial differential equations from fluid dynamics
Final Report Abstract
Gitterfreie Diskretisierungsverfahren stellen eine moderne Alternative zu klassischen, gitterbasierten Verfahren bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen dar. Im Gegensatz zu diesen Verfahren entfällt bei gitterfreien Verfahren der zeitaufwendige Schritt der Gittergenerierung. In diesem Projekt wurde ein neues, gitterfreies Diskretisierungsverfahren hoher Ordnung für bestimmte partielle Differentialgleichungen der klassischen Strömungsdynamik entwickelt, untersucht und implementiert. Das entwickelte Verfahren beruht auf Diskretisierungen mit radialen Basisfunktionen und unterscheidet sich auf folgende Weise signifikant von bisherigen, klassischen Ansätzen. Für in-kompressible Strömungen verwendet es analytisch divergenzfreie Ansatzräume. Es erlaubt eine simultane Approximationen für Geschwindigkeit und Druck, ohne das Splitting Verfahren oder inf-sup Bedingungen oder aufwendige, zusätzliche Berechnungen notwendig sind. Schließlich verzichtet es vollständig auf numerische Integration. Konkret wurde das Verfahren für die zeitabhängigen Stokes und die Navier-Stokes Gleichungen für inkompressible Strömungen mit periodischen Randdaten enwickelt. Es wurde eine Stabilitäts- und Fehlertheorie entwickelt und gezeigt, dass das Verfahren bei hinreichend glatten Daten von beliebiger Ordnung sein kann. Da das Verfahren auf einer vorherigen Projektion auf den divergenzfreien Anteil beruht, berechnet es zunächst die Geschwindigkeit ohne zusätzliche Informationen über den Druck. Aus der Approximation der Geschwindigkeit kann dann auf sehr elegante Weise und ohne größeren Aufwand auch eine Approximation des Druckes abgeleitet werden. Bei äquidistanten Raumdaten wurde eine numerische Implementation basierend auf der schnellen Fouriertransformation hergeleitet, implementiert und getestet. Es konnte gezeigt werden, dass diese einen Zeitschritt in O(N log N) Zeit realisiert, wobei N die Anzahl der räumlichen Diskretisierungspunkte bezeichnet.
Publications
- A High-order, analytically divergence-free approximation method for the time-dependent Stokes problem, SIAM Journal on Numerical Analysis 54 (2016), 1288-1312
C. Keim, H. Wendland
(See online at https://doi.org/10.1137/151006196) - Collocation Methods for the Navier-Stokes Equations, Dissertation, Universität Bayreuth, 2016
C. Keim
