Adaptive wavelet methods for inverse problems and inverse parabolic equations
Final Report Abstract
Die wesentlichen Ziele des Projektes wurde erreicht. Sowohl eine abgeschlossene Theorie zur Verbindung von adaptiven Operatorauswertungen mit Sparsity-Regularisierungen für lineare inverse Probleme als auch die Entwicklung adaptiver Wavelet-Vertahren zur Lösung parabolischer Differentialgleichungen wurden erreicht. Außerdem konnten die Resultate zur adaptiven Behandlung von Operatorgleichungen vollständig auf den Fall von Wavelet-Frames verallgemeinert werden; die Tragfähigkeit dieses Konzeptes konnte überzeugend belegt werden. Darüber hinaus wurden bei der Untersuchung des Testproblems (Inverses Wärmeleitungsproblem zur Bestimmung von unzugänglichen Randdaten) zusätzliche analytische Ergebnisse hinsichtlich der Abbildungseigenschaften der involvierten Operatoren erzielt. Die im Projekt entwickelten Algorithmen wurden Implementiert, intensiv getestet und in die bereits vorhandene Marburger Software-Bibliothek integriert. Lediglich die angestrebten ersten Ansätze zur Verallgemeinerung auf nichtlineare Inverse Probleme wurden (noch) nicht erreicht. Neben der wissenschaftlichen Entwicklung von Thorsten Raasch ist besonders erfreulich, dass die Arbeiten dieses DFG-Projektes eine Fortsetzung im Rahmen eines Teilprojektes im SPP1324 gefunden haben. In diesem SPP-Projekt werden Systeme von partiellen Differentialgleichungen auf nichttrivialen Gebietsgeometrien mittels verallgemeinerten adaptiven Tensor-Wavelet-Ansätzen behandelt und ein angekoppeltes hochdimensionales Parameteridentifikationsproblem (Embryogenese, Gen-Expressionsdaten) untersucht. Außerdem haben sich inzwischen mehrere andere Arbeitsgruppen ebenfalls mit dem Thema adaptiver Operatorauswertungen bei Inversen Problemen beschäftigt. Das Thema scheint zunehmend an Bedeutung zu gewinnen. Die Projektleiter überlegen, ob es Möglichkeiten gibt, die von ihnen entwickelte Methode auch auf allgemeine nicht-lineare inverse Probleme, die als Parameteridentifikationen linearer PDEs entstehen, zu übertragen.
Publications
- A Generalized Conditional Gradient Method for Non-Linear Operator Equations with Sparsity Constrains. Inverse Problems, 23:2041-2058, 2007
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T. Raasch
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T. Bonesky, P, Maass
(See online at https://doi.org/10.1515/JIIP.2009.023) - Multilevel Preconditioning for Adaptive Sparse Optimization. Preprint Nr. 25, DFG-Schwerpunktprogramm 1324 "Extraktion quantifizierbarer Information aus komplexen Systemen", 2009
S. Dahlke, M. Fornasier, T. Raasch
- Nonlinear and Adaptive Frame Approximation Schemes for Elliptic PDEs: Theory and Numerical Experiments. Numerical Methods for Partial Differential Equations 25(6): 1366-1401, 2009
S. Dahlke, M. Fornasier, M. Primbs, T. Raasch, M. Werner
- Regularization of inverse problems and inexact operator evaluations. Dissertation, Universität Bremen, 2009
T. Bonesky
- Sparse Reconstruction for Inverse PDE Problems. Structured Decompositions and Efficient Algorithms (Dagstuhl, Germany) (S. Dahlke, I. Daubechies, M. Elad, G. Kutyniok, und G. Teschke, eds.), Dagstuhl Seminar Proceedings, no. 08492, Schloss Dagstuhl, Germany, 2009
T. Raasch
- Adaptive Wavelet Methods. In: K. Böhmer, Numerical Methods for Nonlinear Differential Equations, vol. I, Oxford University Press, 2010
T. Raasch
