Function spaces with variable exponents

• Applicant: Professor Dr. Henning Kempka
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2012 to 2018
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 226413821

• Final Report Year: 2018

Final Report Abstract

Viele der anvisierten Ziele des DFG Projektes wurden erreicht. Es zeigte sich während des Projektes, dass neue Methoden und Beweise erst entwickelt werden mussten um gewisse Theoreme zu beweisen. Vom Arbeitsplan wurden die folgenden Resultate gezeigt und auch veröffentlicht: Nichtglatte Atome Chrakterisierung; Intrinsische Charakterisierung der Räume mit Hilfe der Atome auf allgemeinen Gebieten (regular domains); Verhalten des Fortsetzungsoperators von Lipschitzgebieten auf R^n; Intrinsische Charakterisierung der Räume mit dem Peetre Maximaloperator auf Lipschitzgebieten; Verhalten des Spuroperators von R^n auf R^n−1; Abbildungseigenschaften von Diffeomorphismen; Verhalten von punktweisen Multiplikatoren. Alle oben genannten Resultate wurden gleich für den allgemeinen Fall der 2-mikrolokalen Besov- und Triebel-Lizorkin Räume bewiesen. Somit verallgemeinern die oben genannten Arbeiten viele Vorgängerarbeiten, welche sich nur mit variabler Glattheit oder nur mit variabler Integrabilität befasst haben. Leider wurden im Bereich der Besovregularität von elliptischen Randwertaufgaben keine Fortschritte erzielt, da der Arbeitsplan aus dem Antrag zeitlich zu ambitioniert war, und alleine die obigen Aussagen im Bereich der variablen Funktionenräume zu erhalten zuviel Zeit in Anspruch nahm. Zusätzlich zu den geplanten Zielen wurden aber noch weitere Aussagen auf dem Gebiet der variablen Funktionenräume erzielt. Dies betrifft die Ergebnisse: Coorbit Charakterisierungen; variable Lorentzräuzme; reelle Interpolation; Franke-Jawerth Einbettungen. Durch dieses DFG Projekt ist es jetzt erst möglich, die Besovregularität von elliptischen Randwertaufgaben erfolgreich im Sinne der variablen Funktionenräume zu betrachten. Zusammengefasst bewertet der Antragsteller das Projekt als vollen Erfolg, da zahlreiche wichtige Ergebnisse erzielt wurden und es keine Probleme gab diese in erstklassischen Journalen zu veröffentlichen. Die notwendigen Voraussetzungen zur Erforschung der Besovregularität von elliptischen Randwertaufgaben wurden von der Seite der Funktionenräume geschaffen, und auch weiterführende Resultate ergaben sich während der Projektlaufzeit.

Publications

• Lorentz spaces with variable exponents, Math. Nachr. 287 no. 8-9, (2014), 938–954
  H. Kempka and J. Vybíral
  
• Non-smooth atomic decomposition of 2-microlocal spaces and application to pointwise multipliers, J. Math. Anal. Appl. 434 no. 2, (2016), 1875–1890
  H. Gonçalves and H. Kempka
  
• General coorbit space theory for quasi-Banach spaces and inhomogeneous function spaces with variable smoothness and integrability, J. Fourier Anal. Appl. 23 no. 6, (2017), 1348–1407
  H. Kempka, M. Schäfer and T. Ullrich
  
• Intrinsic atomic characterization of 2-microlocal spaces with variable exponents on domains, Rev. Mat. Complut. 30 no. 3, (2017), 467–486
  H. Gonçalves and H. Kempka
  
• Intrinsic characterization and the extension operator in variable exponent function spaces on special Lipschitz domains, Function spaces and inequalities, Springer Proc. Math. Stat. 206, Springer Singapore, (2017), 175–192
  H. Kempka
  
• Franke-Jawerth embeddings for Besov and Triebel-Lizorkin spaces with variable exponents, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 43, (2018), 187–209
  H. Gonçalves, H. Kempka and J. Vybíral