Reeb-Dynamik und Holomorphe Kurven

• Applicants: Professor Dr. Hansjörg Geiges; Professor Dr. Kai Zehmisch
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2012 to 2017
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 225906543

Energiehyperflächen Hamiltonscher Dynamischer Systeme zerlegen symplektische Mannigfaltigkeiten in natürlicherweise in symplektische Kobordismen. Wie H. Hofer 1993 zeigte, kann man punktierte holomorphe Kurven in solchen Kobordismen benutzen, um periodische Lösungen der Hamiltonschen Gleichungen zu finden. Andererseits lässt aber auch die Orbitstruktur Rückschlüsse auf die Geometrie der Kobordismen bzw. deren Kontakttyp-Ränder zu. Die Untersuchung solcher Beziehungen ist Teil der symplektischen Feldtheorie und Gegenstand unseres Projektes. Mit Hilfe der Theorie der Polyfaltigkeiten sollen die Existenzresultate geschlossener Reeb-Bahnen auf eine größtmögliche Klasse von Kontaktmannigfaltigkeiten erweitert werden, die als konkaver Rand geeigneter symplektischer Kobordismen auftreten. Dies reduziert die Existenzfrage auf eher geometrische Fragestellungen. So soll untersucht werden, wie sich Überdrehtheit oder die Giroux-Torsion begrifflich ausdehnen lassen, um Beispiele solcher Kobordismen aufzuspüren. In natürlicher Weise kann man in diesem Zusammenhang eine Kapazität durch Messen der kleinsten Periode definieren, die wir in Zusammenhang mit der Hofer-Zehnder-Kapazität stellen werden. Dies dehnt dann unsere Existenzresultate auf stabile Hamiltonsche Strukturen aus.

• DFG Programme: Research Grants