Lagrangian fibrations on irreducible symplectic manifolds. Deformations of Lagrangian subvarieties and affine structures.
Final Report Abstract
Während des Aufenthalts am Institut de Mathématiques de Jussieu in Paris untersuchte ich Lagrangesche Faserungen von irreduzibel holomorph symplektischen (ihs) Mannigfaltigkeiten. Ihs Mannigfaltigkeiten sind eine spezielle Klasse von komplexen Mannigfaltigkeiten, die seit mehreren Jahren großes Interesse bei Mathematikern (und mitunter auch bei theoretischen Physikern) hervorrufen. Sie sind speziell genug, dass sie starken theoretischen Bedingungen unterliegen und man sich erhoffen kann, sie eines Tages klassifizieren zu können. Sie verfügen über eine faszinierende Geometrie mit zahlreichen Verbindungen zu anderen Teilgebieten der Mathematik, und Lagrangesche Faserungen sind ein vielversprechender Kandidat um eine solche Klassifikation erreichen zu können. Auf der anderen Seite kennt man nur wenige Beispiele von ihs Mannigfaltigkeiten und dementsprechend auch von ihren Lagrangefaserungen. Um eine Klassifikation zu bewerkstelligen, muss man sich dem Problem also von beiden Seiten nähern: man muss zum einen versuchen, theoretische Methoden zu entwickeln um die möglichen Lebensräume, d.h. etwa topologische oder komplexe Invarianten, für ihs Mannigfaltigkeiten einzuengen um zu zeigen, dass es nicht zu viele Beispiele geben kann und zum anderen muss man unter den möglichen Invarianten entscheiden, ob es Beispiele von ihs Mannigfaltigkeiten mit diesen Invarianten gibt. Während der Dauer des Projektes wurden auf diesen beiden Teilgebieten der Theorie gute Fortschritte erzielt. Zum einen ergab die Untersuchung lokal trivialer Deformationen im Zusammenhang mit symplektischen Varietäten theoretische Resultate über symplektische Mannigfaltigkeiten und insbesondere über ihre Lagrangefaserungen, zum anderen gelang es zu zeigen, dass eine kürzlich gefundene Familie neuer Beispiele von ihs Mannigfaltigkeiten eine Lagrangefaserung besitzt. Ein überraschendes Nebenprodukt des Studiums lokal trivialer Deformationen war der Beweis einer erstaunlichen Eigenschaft birationaler singularer symplektischer Varietaten: eine wichtige Klasse birationaler Transformationen, die sogenannten log-flips, ändern die Singularitäten (genauer, deren analytischen Isomorphietyp) nicht. Dies ermöglichte nicht vorhergesehene Fortschritte in der birationalen Geometrie symplektischer Mannigfaltigkeiten in Zusammenarbeit mit G. Pacienza (Strasbourg). Ein weiterer Fortschritt wurde auf dem Gebiet der algebraischen Gruppenwirkungen auf algebraischen Varietäten erzielt. Es wurde in Kooperation mit R. Terpereau (Mainz) ein allgemeiner Algorithmus entwickelt um Beispiele für das invariante Hilbertschema explizit zu berechnen. Dies ist ein gewisser Modulraum, der bei Quotienten nach reduktiven Gruppen eine wichtige Rolle spielt. Die hier erworbenen Einsichten geben wichtige Informationen über zukünftige Forschungsvorhaben auf dem noch jungen Gebiet.
Publications
- Deformations of Lagrangian subvarieties of holomorphic symplectic manifolds
Christian Lehn
- On the log minimal model program for irreducible symplectic varieties
Christian Lehn, Gianluca Pacienza
- Twisted cubics on cubic fourfolds. Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, 2014
Christian Lehn, Manfred Lehn, Christoph Sorger, Duco van Straten
- Twisted cubics on singular cubic fourfolds - On Starr’s fibration
Christian Lehn
- Invariant deformation theory of affine schemes with reductive group action. J. Pure Appl. Algebra, 2015
Christian Lehn, Ronan Terpereau
(See online at https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.02.013)
