Inverse Problems for Drift-Diffusion Equations with Applications to Chemotaxis and Synthetic Nanopores
Final Report Abstract
Der erste Förderantrag legte dabei den Fokus auf zwei, in etwa gleich gewichtete Teile: Einerseits Analysis von partiellen Differentialgleichungen, andererseits Inverse Probleme. Es läßt sich sagen, dass in beiden Bereichen relevante Ergebnisse erzielt wurden. Für die Analysis ist z.B. die Arbeit hervorzuheben, in der das Verhalten von Lösungen nichlinearer Drift-Diffusionsgleichungen unter Ein- und Ausflußrandbedingungen untersucht wurde. Für die inversen Probleme nimmt die Arbeit eine Sonderstellung ein, in der ein Problem behandelt wird, das aus der sogenannten “diffusiven optischen Tomographie” motiviert ist. Dies war kein Teil des originalen Antrags sondern ergab sich direkt aus der Zusammenarbeit innerhalb der Arbeitsgruppe von Prof. Egger in Darmstadt. In einem Arbeitspaket wurde auch die Verwendung von abstrakten analytischen Resultaten (Gradientenflußformulierung) für das inverse Problem vorgeschlagen. Dieser Ansatz ist immer noch relevant, hat sich aber im Verlauf als komplexer als erwartet erwiesen und konnte im Antragszeitraum nicht abschließend bearbeitet werden. In der zweiten Förderperiode lag der Fokus dann klar auf inversen Problemen, diesmal mit Anwendungen in Biologie beziehungsweise physikalischer Chemie. Hier war es möglich, sowohl theoretische Arbeiten als auch eine Reihe von Publikationen mit Physikern aus den relevanten Gebieten zu veröffentlichen, so dass alle vorgeschlagenen Arbeitsbereiche abgedeckt werden konnten. In der Arbeit zu diesem Antrag ergaben sich zwei Überraschungen: Einmal wurde im Verlauf klar, dass die Methode der singularen Testfunktionen, die bereits im ersten Antrag verwendet wurde, im Kontext der Identifikation von nichtlinearen Diffusionskoeffizienten sehr flexibel verwendet werden kann. So konnen damit Eindeutigskeitsergebnisse für eine große Klasse von Gleichungen erreicht werden, unabhängig von deren exakter Struktur, solange eine Existenztheorie für das direkte Problem vorliegt. Andererseits ergab z.B. die Arbeit zur Chemotaxis, dass bei nichtlinearen Gleichungen, bei denen es nicht um die Identifikation von Diffusionskoeffizienten geht, ein sehr problemadaptiertes Verfahren zum gewünschten Ergebnis führte. Da für nichtlineare partielle Differentialgleichungen auch die Lösungstheorie im Allgemeinen sehr stark vom konkreten Problem abhängt, ist hier die sehr relevante Frage für die weitere Forschung, ob für bestimmte “Klassen” von solchen Systemen Werkzeuge existieren, die Eindeutigkeitsresultate für alle Gleichungen innerhalb der Klasse erlauben.
Publications
- Rectification properties of conically shaped nanopores: consequences of miniaturization, Phys. Chem. Chem. Phys. 15
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H. Egger, J.-F. Pietschmann, M. Schlottbom
(See online at https://doi.org/10.1088/0266-5611/30/2/025004) - Simultaneous identification of diffusion und absorption coefficients in a quasilinear elliptic problem, Inverse Problems 30(3)
H. Egger, J.-F. Pietschmann, M. Schlottbom
(See online at https://doi.org/10.1088/0266-5611/30/3/035009) - Identification of Chemotaxis Models with Volume Filling. SIAM J. Appl. Math., Vol. 75, Issue 2, pp. 275 - 288
H. Egger, J.-F. Pietschmann, M. Schlottbom
(See online at https://doi.org/10.1137/140967222) - Flow Characteristics in a Crowded Transport Model. Nonlinearity, 29, 3528
M. Burger, J.-F. Pietschmann
(See online at https://doi.org/10.1088/0951-7715/29/11/3528) - On a cross-diffusion model for multiple species with nonlocal interaction und size exclusion, Nonlinear Analysis, Volume 159, Pages 10-39
J. Berendsen, M. Burger, J.-F. Pietschmann
(See online at https://doi.org/10.1016/j.na.2017.03.010) - On the uniqueness of nonlinear diffusion coefficients in the presence of lower order terms, Inverse Problems, Volume 33(11)
H. Egger, J.-F. Pietschmann, M. Schlottbom
(See online at https://doi.org/10.1088/1361-6420/aa8cae) - Asymptotic models for transport in large aspect ratio nanopores, European Journal of Applied Mathematics
B. Matejczyk, J.-F. Pietschmann, G. Richardson, M.T. Wolfram
(See online at https://doi.org/10.1017/S0956792518000293)
