Symbolic Methods in Holomorphic Dynamics
Final Report Abstract
In der holomorphen Dynamik lassen sich wegen der komplexen Struktur viele Fragestellungen mit symbolischen Methoden bearbeiten. Arbeitsziel des Forschungssemesters war es, an verschiedenen Projekten in dieser Richtung Fortschritte zu erzielen, in Kooperation vor allem mit John Hubbard, Bill Thurston und Philipp Meerkamp (alle Cornell, NY) und verschiedenen internationalen Gästen am ICERM-Institut in Providence (Rhode Island), die dort - wie ich - zu einem speziellen Forschungssemester eingeladen waren. Ein erstes Projekt bezog sich auf die “biaccessibility dimension”, die die dynamische Komplexität eines komplexen Polynoms durch ein Maß solcher Punkte beschreibt, die Landepunkte von mehr als einem dynamischen Strahl sind. Hier hatte ich Vorarbeiten mit Philipp Meerkamp und Henk Bruin: eine gemeinsame Arbeit mit Meerkamp hat den “letzten Schliff” erhalten und ist inzwischen erschienen, zwei mit Bruin sind zur Veröffentlichung eingereicht, eine davon akzeptiert. Vor allem aber waren Diskussionen mit Bill Thurston inspirierend: er arbeitete an u dem Konzept der “Core Entropy”, die im wesentlichen nur für postkritisch endliche Polynome definiert ist: wir hatten festgestellt, dass die Biaccessibility Dimension eine naheliegende Verallgemeinerung ist, die für alle Polynome gilt. Inspiriert durch eine Wette zwischen Thurston und Hubbard konnten wir (gemeinsam mit Dudko) zeigen, dass diese Dimension stetig von äußeren Parametern abhängt. Ein zweites wesentliches Projekt wurde mit John Hubbard (Cornell) bearbeitet: im Kontext der Mandelbrotmenge wird davon ausgegangen, dass die gesamte topologische Struktur sich kombinatorisch beschreiben lässt. Das antiholomorphe Analogon der Mandelbrotmenge, das von Milnor untersuchte Tricorn, zeigt zwar viele Ähnlichkeiten, aber auch Aspekte komplex höherdimensionaler Parameterräume, und insbesondere scheint dies der einfachste verstehbare Parameterraum zu sein, wo die Kombinatorik (d.h. die symbolische Dynamik) die Topologie nicht mehr vollständig beschreibt. Dieses Phänomen wurde in einer gemeinsamen Arbeit mit Hubbard untersucht, die im Frühjahr geschrieben und inzwischen zur Veröffentlichung akzeptiert worden ist in einem Buch bei Princeton University Press zu Ehren des 80. Geburtstags von John Milnor, einem der Pioniere des Tricorns. Weitere Projekte beziehen sich auf die Beschreibung von Parameterräumen durch kombinatorische Strukturen: für die Mandelbrotmenge ist dies durch die von uns eingeführten und untersuchten “Internen Adressen” möglich, für das Analogon kubischer Polynome sind neue Strukturen notwendig, die wir mit John Hubbard untersuchen (inspiriert durch Diskussionen mit Bill Thurston und teils John Milnor). Schließlich haben wir viel Energie für ein besonderes Projekt investiert, als wir (gemeinsam mit Sergei Tabachnikov) eingeladen wurden, ein Sonderheft des American Mathematical Monthly als Gastherausgeber zu bearbeiten (das erste Sonderheft in 20 Jahren). In diesem Zusammenhang ist eine gemeinsame Publikation mit Don Zagier entstanden, und wir haben viele Diskussionen mit John Conway über seinen Beitrag geführt, der Fragen der Unentscheidbarkeit von symbolischer Dynamik zum Thema hat — sehr passend zum Thema des Forschungssemesters, aber doch mit weit darüber hinausgehender Inspiration.
Publications
- Hausdorff dimension and biaccessibility for polynomial Julia sets. Proceedings of the American Mathematical Society
Philipp Meerkamp and Dierk Schleicher
- (guest editors), Special issue on the occasion of the first International Mathematical Summer School, held at Jacobs University Bremen 2011. American Mathematical Monthly, (March 2013)
Dierk Schleicher and Sergei Tabachnikov
