Stokes-Strukturen, Periodenintegrale und perverse Garben
Final Report Abstract
Die Theorie der D-Moduln, eine algebraische Sichtweise auf komplexe Differentialgleichungen auf komplexen Mannigfaltigkeiten, hat speziell durch die prominente Riemann-Hilbert Korrespondenz wichtige Anwendungen in der Topologie oder der Darstellungstheorie erzeugt. Diese in den 80er Jahren von M. Kashiwara und Z. Mebkhout bewiesene Korrespondenz verbindet die Kategorie der holonomen regulär singulären D-Moduln, die analytische Seite der Korrespondenz, mit der Kategorie der perversen Garben, die topologische Seite. Die letztgenannten Objekte entstehen auf natürliche Weise als geeignete Erweiterung des Begriffs der lokalen Systeme - also etwa der Koeffizienten von Kohomologietheorien - und spielen in vielen Bereichen der Topologie eine wichtige Rolle. Wichtige funktorielle Konstruktionen für D-Moduln erhalten die Bedingung, regular singulär zu sein, nicht. Darunter fällt beispielsweise die Fourier-Laplace-Transformation. Die Frage nach einer allgemeineren, den irregulär singulären Fall einschließenden Fassung der Riemann-Hilbert Korrespondenz war lange Zeit nur im Eindimensionalen bekannt. Nach wegweisenden Strukturresultaten von K. Kedlaya und T. Mochizuki sind in den letzten Jahren zwei allgemeinere Versionen von C. Sabbah und von A. d’Agnolo und M. Kashiwara, jeweils durch unterschiedliche Ansätze, erzielt worden. Die Theorie von C. Sabbah fußt auf einer Entwicklung des Begriffs der Stokes-Strukturen in allen Dimensionen, d’Agnolo-Kashiwara arbeiten mit einer Konstruktion von Garben unter Einschluss eines zusätzlichen reellen Parameters, den ,,enhanced ind-sehaves”. Im geförderten Projekt wurden wichtige funktorielle Konstruktionen in Bezug auf diese allgemeineren Riemann-Hilbert Korrespondenzen untersucht. Die Ergebnisse sind eine topologische Variante der Fourier-Laplace-Transformation für Stokes-Strukturen (in Zusammenarbeit mit C. Sabbah) und für enhanced ind-sheaves (in Zusammenarbeit mit A. d’Agnolo, G. Morando, C. Sabbah) auf der affinen Geraden. In beiden Arbeiten werden zudem explizite Berechnungen zur Fourier-Laplace-Transformation gewisser Klassen von D-Moduln erreicht. Ein weiteres Ergebnis wurde in einer Zusammenarbeit mit G. Morando erzielt, in dem direkte Bilder exponentieller Moduln unter einer Projektion mit den von d’Agnolo-Kashiwara entwickelten Methoden untersucht wurden. Damit ist es möglich, die Stokes-Strukturen solcher Bilder explizit auf rein topologische Weise zu berechnen.
Publications
- The local Laplace transform of an elementary irregular meromorphic connection, Rendiconti del Sem. Math. Padova, 134 (2015), p. 133–196
M. Hien, C. Sabbah
(See online at https://doi.org/10.4171/RSMUP/134-4) - Topological computations of some Stokes phenomena, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Report No. 22/2015, 1219-1220
M. Hien (with A. d’Agnolo, G.Morando, C. Sabbah)
(See online at https://doi.org/10.4171/OWR/2015/22) - Topolgogical computation of some Stokes a phenomena on the affine line. 2017, 51 S.
A. d’Agnolo, M. Hien, G. Morando, C. Sabbah
