Höherdimensionale Klassenkörpertheorie von Varietäten über höherdimensionalen lokalen Körpern

• Applicant: Dr. Patrick Forré
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2012 to 2013
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 215975056

In der arithmetischen Geometrie betrachtet man geometrische Objekte, die sich lokal als Nullstellenmenge eines Systems von algebraischen Gleichungen in mehreren Variablen beschreiben lassen, wobei die Koeffizienten der Polynome aus einer Zahlenmenge von arithmetischer Relevanz kommen wie z.B. die ganzen, rationalen oder p-adischen Zahlen. Diese Objekte werden als Varietäten oder allgemeiner als Schemata über dem zugehörigen Grundring bezeichnet. Zum Studium und zur Unterscheidung von Varietäten kann man diesen eine Invariante namens algebraische Fundamentalgruppe zuordnen in Analogie zur Topologie und in Verallgemeinerung der klassischen Galoistheorie. Die algebraische Fundamentalgruppe klassifiziert dann gerade die étalen Überlagerungen der Varietät. Das sind Varietäten die lokal wie eine mehrfache Kopie der gegebenen aussehen. Die Berechnung einer Fundamentalgruppe wird durch ihre evtl. Nicht-Kommutativität erschwert. Deshalb beschränkt man sich in der höher dimensionalen Klassenkörpertheorie auf den Vergleich der abelisierten algebraischen Fundamentalgruppe mit einer sogenannten Klassengruppe, die sich meist aus lokaleren Daten von Kurven bzw. Punkten auf der Varietät berechnen lässt und damit einfacher erscheint. Die Vergleichsabbildung heißt Reziprozitätsabbildung und die Hauptaufgabe der Klassenkörpertheorie besteht nun darin ihren Kern und Kokern zu bestimmen. Sind diese nämlich in einem gewissen Sinne klein genug, d.h. ist die Reziprozitätsabbildung nahe daran ein Isomorphismus zu sein, so können Rückschlüsse auf die Fundamentalgruppe gezogen werden.In meinem Forschungsvorhaben soll nun höher dimensionale Klassenkörpertheorie von Varietäten über höher dimensionalen lokalen Körpern entwickelt werden. Zu letzteren zählen vereinfacht gesprochen z.B. Potenzreihenkörper über endlichen Körpern oder über p-adischen Zahlen.

• DFG Programme: Research Fellowships
• International Connection: Japan
• Host: Professor Dr. Takehiko Saito