Entropie-Entropiedissipationsmethoden für nichtlineare partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung
Final Report Abstract
Ziel dieses Projektes war die Weiterentwicklung einer systematischen Methode zur Konstruktion von Entropien und Entropiedissipationstermen in speziellen Klassen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen höherer Ordnung. Die Entropiemethode erlaubt es zum einen, Informationen über die nichtlineare Struktur der Gleichung zu gewinnen, und zum anderen, mit Hilfe der gewonnenen Abschätzungen die Existenz zeitlich globaler Lösungen zu beweisen sowie deren qulitatives Verhalten zu untersuchen. Die Existenz von Lösungen ist für die Modellvalidierung von Bedeutung, während beispiesweise das Langzeitverhalten Informationen über die typische Zeitskala der entsprechenden Gleichung liefert. Die von Matthes und dem Antragsteller entwickelte algebraische Entropie-Entropiedissipationsmethode für eindimensionale homogene Gleichungen gerader Ordnung wurde in verschiedener Hinsicht erweitert, u.a. auf Gleichungen in mehreren Raumdimensionen, Gleichungen mit Termen erster Ordnung, Gleichungssysteme und Gleichungen mit expliziter Ortsabhängigkeit. Die Entropietechnik wurde angewendet auf (i) die Dünnfilmgleichung, (ii) vereinfachte Quanten-Diffusionsmodelle vierter und sechster Ordnung und (iii) viskose quantenhydrodynamische Gleichungen. Damit konnten neue a-priori-Abschätzungen gewonnen werden, die die Existenz von Lösungen - zum Großteil auch in mehrdimensionalen Situationen - global in der Zeit sichern, und sowohl qualitative als auch quantitative Aussagen über deren Regularltät und Langzeitverhalten erlauben. Ein weiteres Hauptresultat ist die Herleitung neuer konvexer Sobolevungleichungen und die Verbesserung bekannter Schranken an die Parameter und Konstanten. Unsere systematische Methode zur Konstruktion von Entropien dient dem Verständnis der Struktur nichtlinearer partieller Differentialgleichungen, die zur Beschreibung zeitlicher Vorgänge z.B. in der Fluiddynamik, Quantenmechanik, Ökonomie und Biologie von großer Bedeutung sind. Ist die mathematische Struktur dieser Gleichungen verstanden, ist es möglich, eine mathematische Theorie zu entwickeln, mit deren Hilfe etwa die Wohlgestellheit der Gleichungen (machen die Gleichungen physikalisch Sinn?) und das Langzeitverhalten der Lösungen (wie schnell kommt das System zur Ruhe?) untersucht werden können. Die mathematische Analysis hilft auch bei der Konstruktion numerischer Schemata, mit denen die Gleichungen numerisch simuliert werden können. In diesem Projekt ist es uns gelungen, die Struktur bestimmter partieller Differentialgleichungen mit starken Nichtlinearitäten zu verstehen, mathematisch zu analysieren und Zusammenhänge zu anderen Teilbereichen der Mathematik (algebraische Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie) herzustellen. Unser algebraischer Zugang erlaubt die Untersuchung sehr komplexer Gleichungen (beispielsweise nichtlinearer Diffusionsgleichungen sechster Ordnung), die mit herkömmlichen analytischen Techniken nicht zugänglich sind. Insbesondere haben wir einen Beitrag zum mathematischen Verständnis von Quantendiffusionsmodellen für Halbleiter geleistet. Die folgenden - unserer Meinung nach sehr schönen - Resultate wurden im Laufe des Projekts erzielt, obwohl sie von uns bei Antragstellung so nicht erwartet wurden: • In einer Reihe von Arbeiten haben wir Quantendiffusionsmodelle, insbesondere die DLSS-Gleichung von vierter Ordnung analysiert. Es hat sich gezeigt, daß diese Gleichung eine reiche mathematische Struktur hinsichtlich ihrer Lyapunovfunktionale, der Erhaltung von Positivität und des Langzeitverhalten der Lösungen besitzt. In diesem Projekt ist es uns gelungen, diese Gleichung weitgehend zu verstehen und mathematische Techniken bereitzustellen, mit deren Hilfe sich weitere Gleichungsklassen behandeln lassen. • In einer weiteren Arbeit ist es uns speziell für die fast diffusion equation gelungen, mit dieser Gleichung kanonisch verknüpfte Funktionalungleichungen in gewissen Parameterregimen mit optimalen Konstanten herzuleiten und außerhalb dieses Regimes zumindest die bekannten Schranken zu verbessern. Unser Zugang ist dabei einerseits relativ elementar und andererseits komplementär zu den etablierten Zugängen (beispielsweise mittels Spektraltheorie). • Unter Verwendung einer neuen Geschwindigkeitsvariable (deren Definition motiviert war durch Arbeiten von Bresch und Desjardins) konnten wir zeigen, daß das Quanten-Navier-Stokes-Modell formal äquivalent zu den viskosen quantenhydrodynamischen Gleichungen ist. Insbesondere erlaubt diese Variable im Quanten-Navier- Stokes-Modell die Herleitung neuer Entropieungleichungen und den Beweis zeitlich globaler Lösungen der viskosen quantenhydrodynamischen Gleichungen für allgemeine Anfangsdaten.
Publications
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