NURBS-FEM für Kontaktprobleme

• Applicant: Professor Dr.-Ing. Manfred Bischoff
• Subject Area: Mechanics ; Applied Mechanics, Statics and Dynamics
• Term: from 2011 to 2015
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 212273885

• Final Report Year: 2016

Final Report Abstract

Das Ziel dieses Forschungsprojekts bestand in der Entwicklung eines stabilen und leistungsfähigen Kontaktalgorithmus auf Basis des isogeometrischen Konzepts. Die numerische Stabilität der entworfenen Kontaktalgorithmen geht in hohem Maß auf die glatte Oberflächenbeschreibung durch NURBS zurück. Die maximale Kontinuität von C^p−1 am Elementübergang ermöglicht eine kontinuierliche Beschreibung des minimalen Abstandes zwischen zwei Körpern. Eine Ausnahme bilden Patchübergänge, die in der Regel nur C^0-kontinuierlich sind. Da im Verhältnis zu den kontinuierlichen Elementübergängen sehr wenige Patchübergänge vorkommen, können numerische Artefakte und Instabilitäten, hervorgerufen durch facettierte Oberflächenbeschreibungen, a priori verhindert werden. Die Kontaktalgorithmen sind auf Grundlage der schwachen Form, der virtuellen Kontaktarbeit, aufgebaut. Die Nichtdurchdringungsbedingung wird dazu mithilfe der Lagrange-Multiplikator-Methode formuliert. In tangentialer Richtung kommt die Penalty-Methode zum Einsatz. Die anschließende konsistente Linearisierung der Gleichungen garantiert quadratische Konvergenz der Newton-Iteration innerhalb eines Lastschrittes. Die drei entwickelten Kontakt-Varianten (PTS, PTS+ und Mortar) unterscheiden sich algorithmisch kaum, erfüllen die Zwangsbedingung aber prinzipiell unterschiedlich. In allen drei Fällen findet eine Umwandlung der Kontaktintegrale in eine Summe über eine gewisse Anzahl von Auswertungspunkten der Slave-Seite statt. Entspricht die Anzahl an Auswertungspunkten der Anzahl an Slave-Kontrollpunkten der Oberfläche, so wird von der Kollokationsmethode PTS gesprochen. Um den Abstand der Körper korrekt zu messen, werden die Kollokationspunkte direkt auf der Oberfläche des Slave-Körpers angeordnet. Punkte, die auf der Basis der Oberflächen-Funktionen definiert sind (Greville, Botella, Chebyshev), zeigen dabei bessere Ergebnisse als gleichförmig verteilte Punkte. An den Kollokationspunkten wird die Nichtdurchdringungsbedingung punktuell exakt erfüllt. Kontaktkräfte verhindern ein Durchdringen. Die Kontaktspannung muss nachträglich berechnet werden. Werden den Kollokationspunkten Kollokationsgewichte zugeordnet (PTS+), ist die Übertragung von Kontaktspannungen in der Kontaktzone direkt möglich. Das Kollokationsgewicht verändert die Definition des Lagrange-Multiplikator-Feldes von einer punktuellen hin zu einer flächigen Definition. Die Kollokationsgewichte werden zu Beginn der Berechnung einmalig bestimmt und bleiben während des gesamten Simulationszeitraums konstant. Die positive Auswirkung des Gewichts zeigt sich vor allem bei reibbehaftetem Kontakt in der Auswertung des Reibgesetzes. Mit der Erhöhung der Menge an Auswertungspunkten geht die Kollokationsmethode in eine integrale Variante über (Mortar). Vornehmlich kommen nun Gauß-Punkte zur Auswertung der virtuellen und linearisierten Arbeit zum Einsatz. Die Nichtdurchdringungsbedingung wird nun integral erfüllt. Aufgrund der glatten Oberfläche kann von einer aufwendigen Segmentierung abgesehen und die Gauß-Punkte je Slave-Element definiert werden. Die Anzahl von p + 1 Gaußpunkten je Slave-Element je Richtung stellte sich als gute Wahl heraus. Der Kontakt-Patchtest wurde prinzipiell bestanden. Aufgrund der fehlenden Segmentierung verblieb ein minimaler Fehler. In numerischen Tests wurden die drei Kontakt-Varianten einander gegenübergestellt. Wird die Rechenzeit der Varianten verglichen, gewinnen die Kollokationsvarianten PTS und PTS+ klar. Die Anzahl an Auswertungspunkten bestimmt die benötigte Rechenzeit. Weniger Auswertungspunkte führen aber meist zu einer geringeren Ergebnisqualität. Jedoch konnte gezeigt werden, dass weder im Spannungsresultat des Hertz’schen Kontaktes noch bei den Reaktionskräften des Ironing-Problems markante Unterschiede zwischen der einfachen Kollokation und der teureren Integration festgestellt werden können. Daraus folgend stellte sich, unter Einbezug der Resultate mit Reibung, die gewichtete Kollokation PTS+ als effizienteste Kontaktelement-Variante heraus. Aufgrund der glatten Oberflächenbeschreibung sind isogeometrische Kollokationsmethoden in der Lage sehr gute Ergebnisse bei kurzen Rechenzeiten zu erzielen. Im Gegensatz zu Kontaktalgorithmen der klassischen Finite-Elemente-Methode muss keine grundsätzliche Entscheidung zwischen hoher Genauigkeit und kurzer Rechenzeit getroffen werden.

Publications

• A Point to Segment Contact Formulation for Isogeometric, NURBS Based Finite Elements. In: Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 255 (2012), März, S. 27–39
  Matzen, M.E.; Cichosz, T.; Bischoff, M.
  
• Point to Segment Contact Formulation for isogeometric NURBS FEM, Abstract bei der Young Investigators Conference (YIC 2012), Aveiro, Portugal, 24.–27. April 2012
  Matzen, M.E.; Bischoff, M.
  
• Discretization Methods for Large Sliding Contact, Abstract bei dem 12th U.S. National Congress on Computational Mechancis (USNCCM12), Raleigh, Vereinigte Staaten von Amerika, 22.–25. Juli 2013
  Ramm, E.; Bischoff, M.; Matzen, M.E.; Wilking, C.M.
  
• Comparison and combination of point-based and segmentbased isogeometric contact formulations in 3D, Abstract bei dem 11. World Congress on Computational Mechanics (WCCM 2014), Barcelona, Spanien, 20.–25. Juli 2014
  Matzen, M.E.; Bischoff, M.
  
• Comparison and combination of point-based and segmentbased isogeometric contact formulations, Abstract bei dem Contact Mechanics International Symposium (CMIS 2014), Abu Dhabi, UAE, 03.–05. Februar 2014
  Matzen, M.E.; Bischoff, M.
  
• Isogeometric modelling and discretization of contact problems, Abstract bei der IV. International Conference on Compuational Contact Mechanics (ICCCM 2015), Hannover, Deutschland, 27.–29. Mai 2015
  Matzen, M.E.; Bischoff, M.
  
• Isogeometric Modelling and Diskretization of Contact Problems, Abstract bei dem 13. US National Congress on Computational Mechanics (USNCCM 2015), San Diego, USA, 26.–30. Juli 2015
  Matzen, M.E.; Ramm, E.; Bischoff, M.
  
• Isogeometrische Modellierung und Diskretisierung von Kontaktproblemen. Dissertationsschrift, Institut für Baustatik und Baudynamik, Universität Stuttgart, 2015
  Matzen, M.E.
  
• A weighted point-based formulation for isogeometric contact. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Volume 308, 15 August 2016, Pages 73-95
  Matzen, M.E.; Bischoff, M.
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.cma.2016.04.010)