Mathematik
Final Report Abstract
Die in ihrer ersten Formulierung auf Selberg zuruückgehende Spurformel ist eine fundamentale Identität in der Spektraltheorie von Gittern (diskreten Untergruppen von endlichem Kovolumen) in halbeinfachen Liegruppen. Sie drückt die grundlegende Dualität zwischen den Konjugationsklassen eines Gitters Γ in einer solchen Liegruppe G und der Spektralzerlegung des Funktionenraums L2(Γ\G) aus. Der Fall nichtkompakter Quotienten Γ\G beeinhaltet dabei gegenüber dem kompakten verschiedene neuartige Probleme, da die Spurformel sich hier erst durch einen komplizierten Regularisierungsprozeß ergibt. Arthur hat in einer umfangreichen Serie von Arbeiten eine Spurformel im Kontext reduktiver Gruppen G über Zahlkörpern F formuliert. Während die Ausarbeitung der Arthurschen Spurformel zunächst vor allem durch das Langlands-Programm (Funktorialität, Shimura-Varietäten) motiviert wurde, gab es in der letzten Zeit auch verstärktes Interesse an den ursprünglichen Anwendungen in der Spektraltheorie, etwa dem Weylschen Gesetz für nichtkompakte lokalsymmetrische Räume. Im Unterschied zu den ersteren Anwendungen, bei denen Spurformeln für verschiedene Gruppen (bzw. die Arthursche mit der Lefschetzschen Spurformel) verglichen werden, geht es hier um asymptotische Aussagen, die aus der Spurformel für eine einzelne Gruppe gewonnen werden können. In dem Projekt wurden auf diese Weise Ergebnisse zum Grenzvielfachheitenproblem für nichtkompakte lokalsymmetrische Räume erzielt. Unter Annahme gewisser Bedingungen an die Verkettungsoperatoren konnte die Grenzvielfachheiteneigenschaft für beliebige Folgen von Kongruenzuntergruppen eines festen arithmetischen Gitters gezeigt werden. Das bedeutet, daß die diskreten Spektren der Quotienten Γ\G gegen das Plancherel-Maß der Liegruppe G konvergieren, wenn keine unendliche Teilfolge von Gittern nichttriviale zentrale Elemente enthält. Die genannten Bedingungen können in vielen Spezialfällen nachgeprüft werden, insbesondere sind sie für die Kongruenzuntergruppen der Gruppen SL(n, oF) für beliebige Zahlkörper F erfüllt. Der Beweis benutzt auch unabhängig von diesem Resultat interessante strukturelle Ergebnisse über diese Kongruenzuntergruppen, nämlich einen sogenannten Approximationssatz für die offenen Untergruppen der proendlichen Gruppen G(Zp), wobei G eine über Q definierte halbeinfache Gruppe und p eine Primzahl ist. Er vergleicht diese mit den algebraisch definierten besonderen Untergruppen (X(Qp) ∩ G(Zp))Kp(pn), wobei X eine zusammenhängende, über Qp definierte echte algebraische Untergruppe von G ist, und Kp(pn) = Ker(G(Zp) → G(Z/pnZ)) die Hauptkongruenzuntergruppen von G(Zp) sind.
Publications
- On the degrees of matrix coefficients of intertwining operators, Pacific Journal of Mathematics, vol. 260 (2012), no. 2 (Sonderband zum Gedenken an Jonathan Rogawski), 433–456
Tobias Finis, Erez Lapid, Werner Müller
- The limit multiplicity problem for congruence subgroups of arithmetic lattices and the trace formula (Automorphic
Representations and Related Topics), KURENAI Kyoto Univ., RIMS Kokyuroku, 1871. 2013, pp. 164-176.
Tobias Finis
- Relation spaces of hyperplane arrangements and modules defined by graphs of fiber zonotopes, Israel Journal of Mathematics, vol. 201 (2014), no. 2, 901-947
Tobias Finis, Erez Lapid
(See online at https://doi.org/10.1007/s11856-014-1052-9) - Limit multiplicities for principal congruence subgroups of GL(n) and SL(n), Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, Volume 14, Issue 3, July 2015 , pp. 589-638
Tobias Finis, Erez Lapid, Werner Müller
(See online at https://doi.org/10.1017/S1474748014000103) - An approximation principle for congruence subgroups. Journal of the European Mathematical Society, Vol. 20. 2018, Issue 5, pp. 1075–1138
(https://arxiv.org/pdf/1308.3604v4.pdf)
Tobias Finis, Erez Lapid
(See online at https://doi.org/10.4171/JEMS/783) - An approximation principle for congruence subgroups II: application to the limit multiplicity problem. Mathematische Zeitschrift, August 2018, Volume 289, Issue 3–4, pp 1357–1380
Tobias Finis, Erez Lapid
(See online at https://doi.org/10.1007/s00209-017-2002-0)
