Pattern formation due to the phase transition in certain elliptic and parabolic quasilinear equation
Final Report Abstract
Das Forschungsprojekt hat sich mit der Entwicklung und den Anwendungen der nichtlinearen Funktionalanalysis, Variationsrechnung, partieller Differentialgleichungen und dynamischer Systeme auf allgemein anerkannte mathematische Modelle für Phasentrennung von "Cahn-Hilliard" und "Fisher-Kolmogorov-Petrovski-Piscounov" bei verschwindender Diffusion befaßt. Das Projektziel war eine möglichst genaue Beschreibung von Teilgebieten mit nur einer der zwei Phasen und der Musterbildung in einem Material mit zwei Phasen bzw. in einem Gebiet mit zwei Populationen mittels vor allem analytischer aber auch numerischer Methoden. Die Forschung des Projektleiters hat sich zum Großteil auf die Bildung von Teilgebieten mit nur einer der zwei Phasen konzentriert. Dafür wurden geeignete analytische Methoden für die Existenz, Nichteindeutigkeit und Regularität der schwachen Lösungen entwickelt. Räumlich periodische und aperiodische Musterbildung ist sowohl analytisch (in Raumdimension Eins und für kugelsymmetrische Lösungen) als auch mittels numerischer Methoden nachgewiesen worden. Der wichtigste Vorteil dieser neuen Methoden ist, daß sie auf eine sehr breite Klasse von singulären oder degenerierten elliptischen partiellen Differentialgleichungen angewendet werden können, wie z.B. "doubly nonlinear, singular or degenerate elliptic problems", welche bei zahlreichen Untersuchungen von verschiedenen Materialien vorkommen. Sie beruhen auf den modernsten Ergebnissen (aus den letzten fünf Jahren) über mehrere Arten der starken Maximum- und Vergleichsprinzipien für quasilineare partielle Differentialgleichungen und der Identität von "Pohozhaev-Pucci-Serrin". Diese Identität gewährleistet wichtige Aussagen über Nichtexistenz bestimmter Lösungen. Auf der anderen Seite weist eine breite Klasse von singulären oder degenerierten parabolischen partiellen Differentialgleichungen fortschreitende Wellen (sog. "travelling waves") auf. Als typisches Beispiel können wir eine reaktive Diffusionsgleichung mit dem p-Laplaceoperator ∆p und einer möglicherweise nur Hölder-stetiger Reaktionsfunktion erwähnen. Solche fortschreitende Wellen bilden z.B. die scharfe Grenze zwischen zwei konkurrierenden Populationen, die sich mit der Zeit bewegt, oder die Mitte eines unscharfen Grenzgebietes zwischen zwei konkurrierenden Populationen, die sich ebenso mit der Zeit bewegt. In mehreren Arbeiten hat der Projektleiter nachgewiesen, daß vor allem die degenerierte Diffusion (dargestellt durch den p-Laplaceoperator ∆p mit p > 2) dazu führen kann, daß das Gebiet, in dem beide konkurrierende Populationen existieren, räumlich beschränkt ist, obwohl dies für p = 2 nicht der Fall ist. Gemeinsame Untersuchungen mehrerer Symmetriefragen wurden in Zusammenarbeit mit Herrn Prof. Dr. Jean-Michel Rakotoson durchgeführt.
Publications
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